### 解题思路
这道题要求使用所有围栏（由不同板材拼接而成）构建一个三角形广场，并最大化三角形面积。围栏的总长度是固定的，为 \( T \)。三角形的三条边由围栏分组拼接而成，每条边的长度必须严格小于 \( T/2 \) 才能满足三角形条件（任意两边之和大于第三边）。问题转化为将围栏分成三组，使得每组和都小于 \( T/2 \)，并计算最大可能的三角形面积。

### 算法步骤
1. **计算围栏长度**：遍历所有不同板材对，计算围栏长度 \( S_i + S_j \)（\( i \neq j \))，存储到数组 `lengths` 中。
2. **计算总长度 \( T \)**：对所有围栏长度求和，或通过公式 \( T = (n-1) \times \sum S_i \) 计算。
3. **动态规划分组**：
   - 初始化二维数组 `dp_old`，`dp_old[i][j] = true` 表示第一组和为 \( i \)、第二组和为 \( j \) 是可行的。
   - 对于每个围栏长度，更新状态：将当前围栏放入第一组、第二组或第三组，并确保新的组和不超过 \( (T-1)/2 \)（即严格小于 \( T/2 \))。
   - 使用滚动数组优化空间，每次更新 `dp_new` 并赋值给 `dp_old`。
4. **检查可行解并计算最大面积**：
   - 遍历所有状态 `(i, j)`，如果 `dp_old[i][j] = true` 且第三组和 \( c = T - i - j < T/2 \)，则三条边 \( (i, j, c) \) 可构成三角形。
   - 使用海伦公式计算面积：半周长 \( s = T/2 \)，面积 \( A = \sqrt{s(s-i)(s-j)(s-c)} \)。
   - 记录最大面积，乘以 10000 后向下取整输出；若无解，输出 -1。

### 复杂度分析
- **时间**：围栏总数 \( m = n(n-1)/2 \leq 45 \)，动态规划状态数 \( O(m \times (T/2)^2) \)，最坏情况 \( T \leq 1800 \)，状态数约 3645 万，可接受。
- **空间**：使用两个二维数组，大小 \( O((T/2)^2) \)，约 810000 个布尔值。

### 代码实现
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> S(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> S[i];
    }

    vector<int> lengths;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            lengths.push_back(S[i] + S[j]);
        }
    }
    int m = lengths.size();
    int T_total = 0;
    for (int L : lengths) {
        T_total += L;
    }

    int a_max = (T_total - 1) / 2;
    int b_max = a_max;

    vector<vector<bool>> dp_old(a_max + 1, vector<bool>(b_max + 1, false));
    dp_old[0][0] = true;

    for (int k = 0; k < m; k++) {
        int L = lengths[k];
        vector<vector<bool>> dp_new(a_max + 1, vector<bool>(b_max + 1, false));
        for (int i = 0; i <= a_max; i++) {
            for (int j = 0; j <= b_max; j++) {
                if (dp_old[i][j]) {
                    if (i + L <= a_max) {
                        dp_new[i + L][j] = true;
                    }
                    if (j + L <= b_max) {
                        dp_new[i][j + L] = true;
                    }
                    dp_new[i][j] = true;
                }
            }
        }
        dp_old = dp_new;
    }

    double max_area = -1.0;
    for (int i = 0; i <= a_max; i++) {
        for (int j = 0; j <= b_max; j++) {
            if (dp_old[i][j]) {
                int c = T_total - i - j;
                if (c < T_total / 2.0) {
                    double s = T_total / 2.0;
                    double area = sqrt(s * (s - i) * (s - j) * (s - c));
                    if (area > max_area) {
                        max_area = area;
                    }
                }
            }
        }
    }

    if (max_area < 0) {
        cout << -1 << endl;
    } else {
        long long result = static_cast<long long>(max_area * 10000);
        cout << result << endl;
    }

    return 0;
}
```

### 代码说明
1. **输入处理**：读取板材数量 \( n \) 和长度数组 \( S \)。
2. **围栏生成**：计算所有不同板材对的围栏长度并存储。
3. **动态规划初始化**：`dp_old[0][0] = true` 表示初始状态（无围栏时两组和均为0）。
4. **状态转移**：对每个围栏，尝试放入三组之一，更新状态数组。
5. **面积计算**：遍历所有可行状态，检查三角形条件，用海伦公式计算面积并记录最大值。
6. **输出**：最大面积乘以 10000 后向下取整输出，若无解输出 -1。