From 3aafc65dc36a072d30a3783a1e52218811a11eec Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Zengtudor Date: Thu, 31 Jul 2025 10:46:15 +0800 Subject: [PATCH] update --- src/7/31/U130826.cpp | 55 ++++++++++++ src/7/31/U130826.md | 199 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ src/7/31/U130826d.cpp | 80 +++++++++++++++++ src/7/31/match1.ans | 10 +++ src/7/31/match1.in | 11 +++ src/7/31/match3.ans | 10 +++ src/7/31/match3.in | 11 +++ src/7/31/match5.ans | 100 +++++++++++++++++++++ src/7/31/match5.in | 101 +++++++++++++++++++++ src/7/31/match7.ans | 100 +++++++++++++++++++++ src/7/31/match7.in | 101 +++++++++++++++++++++ 11 files changed, 778 insertions(+) create mode 100644 src/7/31/U130826.cpp create mode 100644 src/7/31/U130826.md create mode 100644 src/7/31/U130826d.cpp create mode 100644 src/7/31/match1.ans create mode 100644 src/7/31/match1.in create mode 100644 src/7/31/match3.ans create mode 100644 src/7/31/match3.in create mode 100644 src/7/31/match5.ans create mode 100644 src/7/31/match5.in create mode 100644 src/7/31/match7.ans create mode 100644 src/7/31/match7.in diff --git a/src/7/31/U130826.cpp b/src/7/31/U130826.cpp new file mode 100644 index 0000000..0f4a0b8 --- /dev/null +++ b/src/7/31/U130826.cpp @@ -0,0 +1,55 @@ +#include +#include +#include +#include +#include +#include +using ll = int64_t; + +void ptv(std::vector&v){ + std::cout<<"["; + for(ll i=1;i>s; + s=' '+s; + ll lok=-1; + static std::vector lv; + lv.clear(); + lv.resize(s.size(),0); + static std::deque q; + q.clear(); + for(ll i=1;i>t; + while(t--){ + solve(); + } +} \ No newline at end of file diff --git a/src/7/31/U130826.md b/src/7/31/U130826.md new file mode 100644 index 0000000..bab5554 --- /dev/null +++ b/src/7/31/U130826.md @@ -0,0 +1,199 @@ +为了解决这个问题，我们需要统计给定字符串中所有合法的子串数量。合法子串需要满足三个条件：长度至少为3，子串内部（不包括边界）恰好有一个'*'，并且去掉这个'*'后，剩余字符串是一个括号匹配串。 + +### 方法思路 +1. **预处理每个位置的左右'*'位置**：对于每个位置，我们预处理其左边最近和右边最近的'*'的位置。这有助于在枚举中心点（即'*'）时，快速确定其左右边界，确保子串内部只有一个'*'。 +2. **枚举中心点**：遍历字符串中的每个'*'，将其作为子串内部的唯一'*'。 +3. **处理左边部分**：对于每个中心点，从中心点左侧开始向左扫描到左边界。在扫描过程中，维护当前子串的平衡值（即括号匹配情况）和最小前缀和（确保过程中没有不匹配的括号）。如果遇到左括号'('且最小前缀和非负，则记录当前平衡值。 +4. **处理右边部分**：从中心点右侧开始向右扫描到右边界。同样维护平衡值和最小前缀和。如果遇到右括号')'且最小前缀和等于当前平衡值（即最小前缀和出现在序列末尾），则记录当前平衡值。 +5. **统计匹配**：对于左边部分记录的每个平衡值x，在右边部分查找平衡值为-x的记录，并累加匹配数量。 + +### 解决代码 +```cpp +#include +#include +#include +#include +using namespace std; + +int main() { + ios::sync_with_stdio(false); + cin.tie(nullptr); + + int t; + cin >> t; + while (t--) { + string s; + cin >> s; + int n = s.size(); + vector left_star(n, -1); + vector right_star(n, n); + + int last = -1; + for (int i = 0; i < n; i++) { + left_star[i] = last; + if (s[i] == '*') { + last = i; + } + } + + last = n; + for (int i = n-1; i >= 0; i--) { + right_star[i] = last; + if (s[i] == '*') { + last = i; + } + } + + long long ans = 0; + for (int pos = 0; pos < n; pos++) { + if (s[pos] != '*') continue; + + int left_bound = (left_star[pos] == -1) ? 0 : left_star[pos] + 1; + int right_bound = (right_star[pos] == n) ? n-1 : right_star[pos] - 1; + + map left_map; + int cur_left = 0, min_cur_left = 0; + + for (int i = pos-1; i >= left_bound; i--) { + int val = (s[i] == '(') ? 1 : -1; + int new_cur = val + cur_left; + int new_min = min(val, val + min_cur_left); + cur_left = new_cur; + min_cur_left = new_min; + + if (s[i] == '(' && min_cur_left >= 0) { + left_map[cur_left]++; + } + } + + map cnt_r; + int cur_r = 0; + int min_cur_r = 0; + for (int j = pos+1; j <= right_bound; j++) { + int val = (s[j] == '(') ? 1 : -1; + cur_r += val; + min_cur_r = min(min_cur_r, cur_r); + if (s[j] == ')' && min_cur_r == cur_r) { + cnt_r[cur_r]++; + } + } + + for (const auto& p : left_map) { + int x = p.first; + auto it = cnt_r.find(-x); + if (it != cnt_r.end()) { + ans += p.second * it->second; + } + } + } + cout << ans << '\n'; + } + return 0; +} +``` + +### 代码解释 +1. **预处理左右'*'位置**：使用两个数组`left_star`和`right_star`，分别存储每个位置左侧和右侧最近'*'的位置。这有助于在枚举中心点时快速确定左右边界。 +2. **枚举中心点**：遍历字符串中的每个'*'，将其作为可能的子串内部唯一'*'。 +3. **处理左边部分**：从中心点左侧开始向左扫描，维护当前子串的平衡值和最小前缀和。如果遇到左括号'('且最小前缀和非负，则记录当前平衡值。 +4. **处理右边部分**：从中心点右侧开始向右扫描，同样维护平衡值和最小前缀和。如果遇到右括号')'且最小前缀和等于当前平衡值，则记录当前平衡值。 +5. **统计匹配**：对于左边部分记录的每个平衡值`x`，在右边部分查找平衡值为`-x`的记录。每匹配一次，就累加一次组合数量，最终得到合法子串的总数。 + +这种方法高效地利用了预处理和动态维护平衡值，确保在O(n log n)时间内解决问题，满足题目要求。 +### 平衡值和最小前缀和详解 + +在解决括号匹配问题时，平衡值和最小前缀和是两个关键概念，用于高效地判断括号序列的合法性。下面我将详细解释这两个概念及其在算法中的应用： + +#### 1. **平衡值 (Balance Value)** +- **定义**：平衡值表示当前括号序列中左括号与右括号的数量差。具体计算规则： + - 遇到左括号 `(`：平衡值 +1 + - 遇到右括号 `)`：平衡值 -1 +- **意义**： + - 平衡值为正：左括号多于右括号 + - 平衡值为零：左右括号完全匹配 + - 平衡值为负：右括号多于左括号（非法状态） +- **示例**： + - 序列 `(()`：平衡值变化 `0 → 1 → 2 → 1` + - 序列 `())`：平衡值变化 `0 → 1 → 0 → -1`（非法） + +#### 2. **最小前缀和 (Minimum Prefix Sum)** +- **定义**：在遍历过程中，记录从起始位置到当前位置的所有平衡值的最小值。 +- **意义**： + - 检测序列是否在任何时刻出现非法状态（平衡值<0） + - 保证整个子串的括号匹配有效性 +- **关键性质**： + - 最小前缀和 ≥ 0：序列始终合法（无右括号多余的情况） + - 最小前缀和 < 0：序列存在非法位置 + +### 在算法中的应用 +#### 左边部分扫描（向左遍历） +```cpp +for (int i = pos-1; i >= left_bound; i--) { + int val = (s[i] == '(') ? 1 : -1; + cur_left = val + cur_left; // 更新平衡值 + min_cur_left = min(val, val + min_cur_left); // 更新最小前缀和 + + if (s[i] == '(' && min_cur_left >= 0) { + left_map[cur_left]++; // 记录有效左边界 + } +} +``` +- **操作逻辑**： + 1. 从星号左侧开始向左扫描 + 2. 遇到左括号才记录（因为合法子串必须以 `(` 开头） + 3. 仅当 `最小前缀和 ≥ 0` 时记录平衡值（保证子串有效性） + +#### 右边部分扫描（向右遍历） +```cpp +for (int j = pos+1; j <= right_bound; j++) { + int val = (s[j] == '(') ? 1 : -1; + cur_r += val; + min_cur_r = min(min_cur_r, cur_r); + + if (s[j] == ')' && min_cur_r == cur_r) { + cnt_r[cur_r]++; // 记录有效右边界 + } +} +``` +- **操作逻辑**： + 1. 从星号右侧开始向右扫描 + 2. 遇到右括号才记录（因为合法子串必须以 `)` 结尾） + 3. 仅当 `最小前缀和 == 当前平衡值` 时记录： + - 表明从开始到当前位置未出现非法状态 + - 且当前平衡值是最小值（无未匹配的右括号） + +### 匹配原理 +- **核心条件**：整个子串（去掉星号）需满足： + ``` + 左边平衡值 + 右边平衡值 = 0 + ``` +- **匹配操作**： + ```cpp + for (const auto& p : left_map) { + int x = p.first; + if (cnt_r.count(-x)) { + ans += p.second * cnt_r[-x]; + } + } + ``` +- **示例**： + - 左边记录平衡值 `x = 1`（左括号多1个） + - 右边需匹配平衡值 `y = -1`（右括号多1个） + - `x + y = 0` → 构成完整匹配 + +### 算法特点 +1. **高效性**： + - 每个字符最多被扫描两次（左/右各一次） + - 哈希表操作均摊时间复杂度 O(1) + - 总时间复杂度 O(n)，满足 ∑|s| ≤ 10⁶ 的要求 + +2. **正确性保障**： + - 预处理星号边界确保唯一性 + - 平衡值检测保证括号匹配 + - 最小前缀和检测排除非法子串 + +3. **边界处理**： + - 星号不在子串边界（预处理保证） + - 子串长度 ≥3（扫描范围控制） + +通过平衡值和最小前缀和的协同作用，算法高效地筛选出所有满足条件的合法子串，完美解决了括号匹配与星号位置约束的双重挑战。 \ No newline at end of file diff --git a/src/7/31/U130826d.cpp b/src/7/31/U130826d.cpp new file mode 100644 index 0000000..8bdfe04 --- /dev/null +++ b/src/7/31/U130826d.cpp @@ -0,0 +1,80 @@ +#include +#include +#include +#include +using namespace std; + +int main() { + ios::sync_with_stdio(false); + cin.tie(nullptr); + + int t; + cin >> t; + while (t--) { + string s; + cin >> s; + int n = s.size(); + vector ls(n, -1); + vector rs(n, n); + + int last = -1; + for (int i = 0; i < n; i++) { + ls[i] = last; + if (s[i] == '*') { + last = i; + } + } + + last = n; + for (int i = n-1; i >= 0; i--) { + rs[i] = last; + if (s[i] == '*') { + last = i; + } + } + + long long ans = 0; + for (int pos = 0; pos < n; pos++) { + if (s[pos] != '*') continue; + + int lb = (ls[pos] == -1) ? 0 : ls[pos] + 1; + int rb = (rs[pos] == n) ? n-1 : rs[pos] - 1; + + map lm; + int cl = 0, mincl = 0; + + for (int i = pos-1; i >= lb; i--) { + int val = (s[i] == '(') ? 1 : -1; + int nc = val + cl; + int nmin = min(val, val + mincl); + cl = nc; + mincl = nmin; + + if (s[i] == '(' && mincl >= 0) { + lm[cl]++; + } + } + + map cntr; + int cr = 0; + int mincr = 0; + for (int j = pos+1; j <= rb; j++) { + int val = (s[j] == '(') ? 1 : -1; + cr += val; + mincr = min(mincr, cr); + if (s[j] == ')' && mincr == cr) { + cntr[cr]++; + } + } + + for (const auto& p : lm) { + int x = p.first; + auto it = cntr.find(-x); + if (it != cntr.end()) { + ans += p.second * it->second; + } + } + } + cout << ans << '\n'; + } +} \ No newline at end of file diff --git a/src/7/31/match1.ans b/src/7/31/match1.ans new file mode 100644 index 0000000..713f449 --- /dev/null +++ b/src/7/31/match1.ans @@ -0,0 +1,10 @@ +23 +144 +24 +5 +3 +1 +24 +24 +24 +3 diff --git a/src/7/31/match1.in b/src/7/31/match1.in new file mode 100644 index 0000000..81a9983 --- /dev/null +++ b/src/7/31/match1.in @@ -0,0 +1,11 @@ +10 +(((((((((((((((((((((((*))))))))))))))))))))))))) +()()()()()()()()()()()()*()()()()()()()()()()()()( +((((((((((((((((((((((((*))))))))))))))))))))))))) +*((*)()*(*)*))*)**((*()((**)((*)(()*()(**)(()(*(*( +******(*(*((*()((*)*)(((*((**(*((*)*(*)((()**(*** +(*()((*(*(((()((*(**()**))(**(*)(**))()((*****)(( +((((((((((((((((((((((((*))))))))))))))))))))))))) +((((((((((((((((((((((((*))))))))))))))))))))))))) +((((((((((((((((((((((((*))))))))))))))))))))))))) +*(*(()*()(*)*)****())((*(*(((())(**)(((****)*((*** diff --git a/src/7/31/match3.ans b/src/7/31/match3.ans new file mode 100644 index 0000000..89444f8 --- /dev/null +++ b/src/7/31/match3.ans @@ -0,0 +1,10 @@ +224 +12544 +223 +29 +224 +34 +25 +12544 +224 +223 diff --git a/src/7/31/match3.in b/src/7/31/match3.in new file mode 100644 index 0000000..54972b8 --- /dev/null +++ b/src/7/31/match3.in @@ -0,0 +1,11 @@ +10 +((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((*))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) +()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()*()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()( +(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((*))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) +()(*(**)*()*(*)(*)()(**)***)***(**(*)*)*()*(*)*)()(((*(())(((*()(***(*()*))*))()*(((*)())***(((**()(**(*()(())*))(***)(*)))()**())*(((**(**)*(*)**))*(*(*(**((*)(()*)***(((*))(*(******(**(*)(*)((((****(**))*(**((()(*)*()(*)()*(*(*))(((((**(((()*()(***)***)*******(**()((()*(*()(((*(****(**()()*(*(**(*()**)*(**(()*)**)()()***)**)*())**)()*(**(((**)*(*(()((*()((**((***()*((()((*)****)()((((()*)*(**(*(*)*****()))***)(((**(*((*******()()))*(()*)**((((( 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0000000..8c22205 --- /dev/null +++ b/src/7/31/match5.ans @@ -0,0 +1,100 @@ +6247500 +4998 +4998 +6247500 +6247500 +4998 +6247500 +4998 +4999 +4999 +4999 +6250000 +4998 +4999 +6247500 +6247500 +6247500 +6247500 +4998 +4999 +6250000 +4998 +6250000 +4999 +4999 +6250000 +4998 +4998 +4998 +6250000 +6250000 +4998 +6247500 +6250000 +4998 +4998 +6247500 +4998 +4998 +6250000 +4998 +6250000 +4998 +4999 +4998 +4999 +4999 +4999 +4998 +6247500 +6250000 +4999 +6250000 +4999 +6247500 +4998 +4998 +6247500 +4999 +6250000 +6247500 +4999 +4999 +6250000 +4999 +6250000 +6250000 +6250000 +6250000 +6247500 +6250000 +4998 +4999 +4998 +4998 +4998 +4999 +4999 +4998 +4998 +6247500 +4998 +6247500 +6247500 +6250000 +4999 +4998 +4998 +4999 +6247500 +4998 +4998 +6247500 +6247500 +4998 +6250000 +4998 +4998 +4999 +6247500 diff --git a/src/7/31/match5.in b/src/7/31/match5.in new file mode 100644 index 0000000..fc0fa19 --- /dev/null +++ b/src/7/31/match5.in @@ -0,0 +1,101 @@ +100 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diff --git a/src/7/31/match7.ans b/src/7/31/match7.ans new file mode 100644 index 0000000..02d48c7 --- /dev/null +++ b/src/7/31/match7.ans @@ -0,0 +1,100 @@ +4555677 +571 +2322500 +400 +568 +583 +1865 +247401 +165 +691 +265000 +3903 +702500 +1594 +384 +514 +544 +999 +1520000 +1627500 +556 +540 +857157 +204 +577 +621 +242403 +444822 +1314474 +194922 +3462500 +135 +565 +491 +807177 +779 +41 +539 +4830567 +541 +549 +624 +624 +353 +4275000 +516 +575 +538 +264 +545 +562 +602259 +1308 +556 +624 +1376949 +608 +555 +1945 +550 +746 +429 +468 +578 +1339 +1767 +418 +1460 +504798 +1707500 +567 +567 +609 +3735000 +1048 +760000 +571 +615 +1531887 +1142 +113 +583 +1876 +2976309 +530 +574 +574 +559 +1629 +391 +565 +565 +205 +591 +1225 +582 +15 +1055 +162500 +542500 diff --git a/src/7/31/match7.in b/src/7/31/match7.in new file mode 100644 index 0000000..f4ce2cb --- /dev/null +++ b/src/7/31/match7.in @@ -0,0 +1,101 @@ +100 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