From 73d15055794c3aef70c001c45303258075c2018f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Zengtudor <Zengtudor@outlook.com>
Date: Wed, 5 Feb 2025 11:22:06 +0800
Subject: [PATCH] update

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 src/2/day1.md | 38 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 37 insertions(+), 1 deletion(-)

diff --git a/src/2/day1.md b/src/2/day1.md
index 284a0a5..64b63fd 100644
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+++ b/src/2/day1.md
@@ -1 +1,37 @@
-GCD CRT
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+GCD CRT 逆元
+
+扩展欧几里得算法（Exgcd）用于求解方程 $ax + by = \gcd(a, b)$ 的整数解 $x$ 和 $y$，同时返回 $a$ 和 $b$ 的最大公约数。以下是代码的逐层解释：
+
+### 递归终止条件
+当 $b = 0$ 时，方程为 $a \cdot 1 + 0 \cdot 0 = a$，此时：
+- $x = 1$, $y = 0$
+- 直接返回 $a$（最大公约数）
+
+### 递归过程
+1. **递归调用**：计算 $\gcd(b, a \% b)$，得到解 $x'$ 和 $y'$，满足：
+   $$
+   b \cdot x' + (a \% b) \cdot y' = \gcd(b, a \% b)
+   $$
+   根据欧几里得算法，$\gcd(a, b) = \gcd(b, a \% b)$。
+
+2. **转换解**：将递归结果的解 $x'$ 和 $y'$ 转换为当前层的解 $x$ 和 $y$。利用 $a \% b = a - \lfloor a/b \rfloor \cdot b$，原方程可重写为：
+   $$
+   a \cdot y' + b \cdot (x' - \lfloor a/b \rfloor \cdot y') = \gcd(a, b)
+   $$
+   因此：
+   - $x = y'$
+   - $y = x' - \lfloor a/b \rfloor \cdot y'$
+
+### 代码步骤
+- **保存递归前的 $x$**：`int t = x`（此时 $x = x'$）。
+- **更新 $x$**：`x = y`（将 $x$ 设为 $y'$）。
+- **更新 $y$**：`y = t - (a / b) * y`（计算 $y = x' - \lfloor a/b \rfloor \cdot y'$）。
+
+### 示例分析
+以 $a = 30$, $b = 12$ 为例：
+1. 递归至 $\gcd(6, 0)$，返回 $x = 1$, $y = 0$, $\gcd = 6$。
+2. 回溯到 $\gcd(12, 6)$，计算 $x = 0$, $y = 1$，满足 $12 \cdot 0 + 6 \cdot 1 = 6$。
+3. 回溯到 $\gcd(30, 12)$，计算 $x = 1$, $y = -2$，满足 $30 \cdot 1 + 12 \cdot (-2) = 6$。
+
+### 总结
+代码通过递归分解问题，逐步缩小规模。每次递归后，利用子问题的解 $x'$ 和 $y'$ 推导当前层的解 $x$ 和 $y$，最终得到满足 $ax + by = \gcd(a, b)$ 的整数解。
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