From 5e77358d929a83b34373b5b9784e0fadd9cda579 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Zengtudor <Zengtudor@outlook.com>
Date: Sun, 24 Nov 2024 16:55:05 +0800
Subject: [PATCH] update

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 src/11/P9869/P9869.cpp |  3 ++
 src/11/P9869/P9869.md  | 81 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 2 files changed, 84 insertions(+)
 create mode 100644 src/11/P9869/P9869.cpp
 create mode 100644 src/11/P9869/P9869.md

diff --git a/src/11/P9869/P9869.cpp b/src/11/P9869/P9869.cpp
new file mode 100644
index 0000000..294989d
--- /dev/null
+++ b/src/11/P9869/P9869.cpp
@@ -0,0 +1,3 @@
+int main(){
+    
+}
\ No newline at end of file
diff --git a/src/11/P9869/P9869.md b/src/11/P9869/P9869.md
new file mode 100644
index 0000000..e2b3801
--- /dev/null
+++ b/src/11/P9869/P9869.md
@@ -0,0 +1,81 @@
+这个问题涉及三值逻辑（True、False、Unknown）变量的赋值与操作，需要找到一种初始赋值方案，使得在执行所有操作后，每个变量的最终值与初始值相同，并且使初始赋值中 `Unknown` 的变量尽可能少。
+
+### 问题分析
+
+1. **变量与操作**：
+   - 有 `n` 个变量，每个变量的值可以是 `T`、`F` 或 `U`。
+   - 有 `m` 条操作，这些操作包括直接赋值（如 `x_i ← T`）、赋值为另一个变量的值（如 `x_i ← x_j`）、或赋值为另一个变量的逻辑非（如 `x_i ← ¬x_j`）。
+
+2. **目标**：
+   - 执行所有操作后，所有变量的最终值与初始值相同。
+   - 在满足上述条件的前提下，初始赋值中 `Unknown` 的变量数最少。
+
+### 思路概述
+
+为了满足最终值等于初始值，需要建立变量之间的依赖关系，并找出这些关系中的约束条件。可以将变量及其值的赋值关系看作是一个等式系统，通过这些等式来确定变量的可能取值。为了有效管理这些等式并高效求解，使用 **并查集（Union-Find** 是一种常见的方法。
+
+### 具体步骤
+
+1. **表示三值逻辑**：
+   - 将 `T`、`F`、`U` 分别映射为不同的整数值，便于在代码中处理：
+     - `T` 被表示为 `100001`
+     - `F` 被表示为 `-100001`
+     - `U` 被表示为 `0`
+
+2. **并查集初始化**：
+   - 使用一个数组 `fa` 来表示每个变量的父节点或代表元素。初始时，每个变量的父节点指向自己。
+
+3. **处理每条操作**：
+   - **直接赋值操作**（`T`、`F`、`U`）：
+     - 如果操作是 `x_i ← T`，则将 `fa[x_i]` 设为 `T` 的表示值。
+     - 类似地处理 `x_i ← F` 和 `x_i ← U`。
+   - **赋值为另一个变量的值**（`+` 操作）：
+     - 如果操作是 `x_i ← x_j`，则将 `fa[x_i]` 设为 `fa[x_j]`，表示 `x_i` 与 `x_j` 的值相同。
+   - **赋值为另一个变量的非值**（`-` 操作）：
+     - 如果操作是 `x_i ← ¬x_j`，则将 `fa[x_i]` 设为 `-fa[x_j]`，表示 `x_i` 是 `x_j` 值的逻辑非。
+
+4. **查找变量的最终值**：
+   - 使用 `find` 函数来查找变量的代表值。
+   - 在 `find` 函数中：
+     - 对于 `T` 和 `F`，直接返回其表示值。
+     - 对于 `U`，返回 `0`。
+     - 对于其他情况，通过递归查找父节点，处理逻辑非的情况，并使用 `book` 数组避免死循环。
+
+5. **计算 `Unknown` 的最小数量**：
+   - 遍历所有变量，使用 `find` 函数确定每个变量的最终值。
+   - 如果某个变量的最终值为 `U`，则计数。
+   - 输出所有测试数据中 `Unknown` 变量的最小数量。
+
+### 关键细节与优化
+
+- **处理逻辑非（`¬`）**：
+  - 逻辑非会改变变量的值，因此在并查集中需要表示变量与其非值的关系。
+  - 使用负值表示逻辑非关系，例如 `x_i ← ¬x_j` 表示 `fa[x_i] = -fa[x_j]`。
+
+- **防止死循环**：
+  - 当变量的代表值可能因逻辑非关系而相互指向时，可能会引发无限递归。通过 `book` 数组记录已经访问过的节点，从而避免死循环。
+
+- **高效的查找操作**：
+  - 使用路径压缩技术优化 `find` 函数，使得查找操作的时间复杂度接近常数时间，确保算法在大规模数据（`n, m ≤ 10^5`）下依然高效。
+
+### 示例解析
+
+以第一个样例为例：
+
+```
+3 3
+- 2 1
+- 3 2
++ 1 3
+```
+
+- 操作步骤：
+  1. `x_2 ← ¬x_1`：`fa[2] = -fa[1]`
+  2. `x_3 ← ¬x_2`：`fa[3] = -fa[2]`
+  3. `x_1 ← x_3`：`fa[1] = fa[3]`
+
+- 通过并查集的合并与查找，最终确定每个变量的值，使得初始值与最终值相同，并且 `Unknown` 的数量最少。在该示例中，可以赋予 `x1 = T`，`x2 = F`，`x3 = T`，使得 `Unknown` 的数量为 `0`。
+
+### 总结
+
+该解决方案通过并查集有效地管理变量之间的赋值与逻辑关系，处理了直接赋值、变量赋值以及逻辑非赋值的情况。通过高效的查找与合并操作，能够在大规模数据下快速求解，同时通过合理的表示与优化，确保了算法的正确性与效率。
\ No newline at end of file