From 149e6c424925e2c70f24bfd4316d9b0069c885d9 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Zengtudor <Zengtudor@outlook.com>
Date: Wed, 20 Nov 2024 23:39:25 +0800
Subject: [PATCH] update

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 src/P7113/P7113.md | 306 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 306 insertions(+)
 create mode 100644 src/P7113/P7113.md

diff --git a/src/P7113/P7113.md b/src/P7113/P7113.md
new file mode 100644
index 0000000..79482f3
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+++ b/src/P7113/P7113.md
@@ -0,0 +1,306 @@
+# NOIP2020ST1 排水系统 解题思路报告
+>声明:
+>1. 本题是NOIP2020提高组T1
+>2. 代码是我写的，解释和注释是AI(chatgpt-o1-mini)写的。
+>3. 因为我喜欢把题目讲的比较清楚，但是又懒(🤣)
+>4. [博客食用更佳](https://blog.zziyu.cn/archives/noip2020st1)
+## 一、问题理解
+
+### 题目概述
+
+在这道题目中，我们需要模拟一个城市的排水系统，并计算每个最终排水口将排出的污水体积。排水系统由若干排水结点和单向排水管道构成。具体要求如下：
+
+1. **排水结点**：共有 $n$ 个排水结点，编号从 $1$ 到 $n$。
+2. **接收口**：前 $m$ 个结点是污水接收口，每个接收口接收 $1$ 吨污水。
+3. **排出管道**：每个结点可能有若干条单向排出管道，指向其他结点。
+4. **最终排水口**：没有排出管道的结点被视为最终排水口，将污水排出系统。
+5. **污水分配**：每个结点接收到的污水均等分配到所有排出管道，最终排水口将收到并排出相应的污水。
+
+最终需要输出每个最终排水口排出的污水体积，以最简分数形式表示。
+
+### 关键点
+
+1. **有向无环图（DAG）**：排水系统中的管道不会形成回路，保证了整体结构为有向无环图。
+2. **拓扑排序**：由于系统是DAG，可以使用拓扑排序来处理污水的流动。
+3. **分数运算**：污水量需要以分数形式表示，并保持最简分数，避免精度丢失。
+
+## 二、解题思路
+
+### 1. 数据结构与变量定义
+
+- **邻接表 (`adj`)**：用于存储每个结点的排出管道指向的目标结点。
+- **入度数组 (`ind`)**：记录每个结点的入度数，用于拓扑排序。
+- **污水量表示 (`nds`)**：使用 `pair<__int128, __int128>` 表示每个结点的污水量，分子和分母分别存储在 `first` 和 `second`。
+- **队列 (`qu`)**：用于进行拓扑排序的队列，存储当前入度为0的结点。
+
+### 2. 初始化
+
+- **接收口**：前 $m$ 个结点作为接收口，初始化污水量为 $1/1$。
+- **其他结点**：初始化污水量为 $0/1$。
+- **构建图结构**：根据输入构建邻接表，并统计每个结点的入度。
+
+### 3. 分数运算函数
+
+由于需要处理分数的加法和约分，定义如下辅助函数：
+
+- **最大公约数 (`gcd128`)**：计算两个 `__int128` 数的最大公约数，用于分数约分。
+- **分数简化 (`sf`)**：将分数 `p/q` 简化为最简形式。
+- **分数加法 (`add`)**：实现两个分数的加法，并返回结果的最简分数形式。
+
+### 4. 拓扑排序与污水分配
+
+使用Kahn算法进行拓扑排序，并在排序过程中进行污水的分配：
+
+1. **入度为0的结点入队**：所有入度为0的结点（即接收口）首先入队。
+2. **处理队列**：
+   - 弹出队首结点 `u`。
+   - 如果 `u` 有排出管道，则将其污水量均分到所有目标结点 `v`：
+     - 对于每个目标结点 `v`，计算从 `u` 分配到 `v` 的污水量，即 `nds[u] / d_u`，其中 `d_u` 是 `u` 的排出管道数量。
+     - 将分配的污水量加到 `v` 的当前污水量上，并进行分数简化。
+     - 更新 `v` 的入度，若入度减为0，则将 `v` 入队。
+3. **重复以上步骤**，直到队列为空。
+
+### 5. 输出结果
+
+遍历所有结点，找到没有排出管道的最终排水口，并按结点编号从小到大的顺序输出其污水量，以最简分数的形式输出。
+
+## 三、代码实现与详细注释
+
+以下是经过详细注释的代码实现：
+
+```cpp
+#include <bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+
+// 使用 64 位整数类型
+using ll = int64_t;
+
+// 使用 128 位整数类型，以防分数计算时溢出
+using i128 = __int128;
+
+// 定义最大结点数，根据题目限制
+const ll maxn = 1e5 + 5;
+
+// 全局变量定义
+ll n, m;                            // n: 排水结点数, m: 接收口数量
+ll ind[maxn];                       // 入度数组，ind[i] 表示结点 i 的入度
+pair<i128, i128> nds[maxn];        // 污水量数组，nds[i] = {分子, 分母}
+vector<ll> adj[maxn];               // 邻接表，存储每个结点的排出管道指向的结点
+
+/**
+ * 计算两个 128 位整数的最大公约数
+ * 使用欧几里得算法
+ */
+i128 gcd128(i128 a, i128 b){
+    while(b != 0){
+        i128 temp = a % b;
+        a = b;
+        b = temp;
+    }
+    return a;
+}
+
+/**
+ * 简化分数 p/q 为最简形式
+ * 将分子和分母同时除以它们的最大公约数
+ */
+void simplify_fraction(i128 &p, i128 &q){
+    i128 gcd_value = gcd128(p, q);
+    p /= gcd_value;
+    q /= gcd_value;
+}
+
+/**
+ * 实现分数加法：p1/q1 + p2/q2
+ * 返回结果的最简分数 {p, q}
+ */
+pair<i128, i128> add_fractions(i128 p1, i128 q1, i128 p2, i128 q2){
+    // 先计算两个分数的公共分母，即它们的最小公倍数
+    i128 lcm = (q1 * q2) / gcd128(q1, q2);
+    
+    // 将两个分数通分到相同的分母
+    i128 new_p1 = p1 * (lcm / q1);
+    i128 new_p2 = p2 * (lcm / q2);
+    
+    // 分子相加
+    i128 sum_p = new_p1 + new_p2;
+    i128 sum_q = lcm;
+    
+    // 简化分数
+    simplify_fraction(sum_p, sum_q);
+    
+    return {sum_p, sum_q};
+}
+
+/**
+ * 重载 `<<` 操作符以支持输出 __int128 类型
+ * 将 __int128 类型转换为字符串后输出
+ */
+ostream &operator<<(ostream &os, i128 num){
+    // 处理负数
+    if(num < 0){
+        os << '-';
+        num = -num;
+    }
+    
+    string s;
+    
+    // 处理数字为0的情况
+    if(num == 0){
+        s = "0";
+    }
+    
+    // 逐位提取数字
+    while(num > 0){
+        char digit = '0' + (num % 10);
+        s += digit;
+        num /= 10;
+    }
+    
+    // 反转字符串以得到正确的数字顺序
+    reverse(s.begin(), s.end());
+    
+    os << s;
+    return os;
+}
+
+int main(){
+    // 提高 I/O 效率
+    ios::sync_with_stdio(false);
+    cin.tie(nullptr);
+    cout.tie(nullptr);
+    
+    // 读取结点数 n 和接收口数量 m
+    cin >> n >> m;
+    
+    // 初始化所有结点的污水量
+    // 前 m 个结点为接收口，初始污水量为 1/1
+    // 其他结点初始污水量为 0/1
+    for(ll i = 1; i <= n; i++){
+        if(i <= m){
+            nds[i] = {1, 1};    // 接收口污水量初始化为 1/1
+        }
+        else{
+            nds[i] = {0, 1};    // 其他结点污水量初始化为 0/1
+        }
+        
+        // 读取当前结点的排出管道数量
+        ll d_i;
+        cin >> d_i;
+        
+        // 读取每条排出管道的目标结点，并更新邻接表和入度
+        for(ll j = 0; j < d_i; j++){
+            ll target;
+            cin >> target;
+            adj[i].emplace_back(target);   // 记录排出管道
+            ind[target]++;                  // 增加目标结点的入度
+        }
+    }
+    
+    // 使用队列进行拓扑排序
+    queue<ll> qu;
+    
+    // 将所有入度为0的结点（接收口）加入队列
+    for(ll i = 1; i <= n; i++){
+        if(ind[i] == 0){
+            qu.emplace(i);
+        }
+    }
+    
+    // 开始拓扑排序和污水分配
+    while(!qu.empty()){
+        ll u = qu.front();   // 取出队首结点
+        qu.pop();
+        
+        // 获取当前结点的污水量
+        pair<i128, i128> current_water = nds[u];
+        
+        // 获取当前结点的排出管道数量
+        ll d_u = adj[u].size();
+        
+        // 如果当前结点有排出管道，则将污水均等分配到所有目标结点
+        if(d_u > 0){
+            // 计算分配给每个目标结点的污水量
+            // 分配量为 current_water / d_u，即分子不变，分母乘以 d_u
+            pair<i128, i128> distribute = {current_water.first, current_water.second * d_u};
+            simplify_fraction(distribute.first, distribute.second);   // 简化分数
+            
+            // 遍历所有排出管道，分配污水到目标结点
+            for(auto &v : adj[u]){
+                // 将 distribute 分数加到目标结点 v 的当前污水量上
+                nds[v] = add_fractions(nds[v].first, nds[v].second, distribute.first, distribute.second);
+                
+                // 更新目标结点 v 的入度
+                ind[v]--;
+                
+                // 如果目标结点 v 的入度减为0，则将其加入队列
+                if(ind[v] == 0){
+                    qu.emplace(v);
+                }
+            }
+        }
+        // 如果当前结点没有排出管道，是最终排水口，无需分配污水
+    }
+    
+    // 遍历所有结点，按编号从小到大输出最终排水口的污水量
+    for(ll i = 1; i <= n; i++){
+        if(adj[i].empty()){    // 判断是否为最终排水口（无排出管道）
+            // 输出污水量的分子和分母，以空格分隔
+            cout << nds[i].first << ' ' << nds[i].second << '\n';
+        }
+    }
+    
+    return 0;
+}
+```
+
+### 代码详细解释
+
+1. **引入必要的库和类型定义**：
+   - `#include <bits/stdc++.h>`：引入所有标准库。
+   - `using ll = int64_t;` 和 `using i128 = __int128;`：定义 `ll` 为 64 位整数，`i128` 为 128 位整数，用于处理大数分数。
+
+2. **全局变量和数据结构**：
+   - `maxn`：定义最大的结点数量，根据题目的约束（$n \leq 10^5$）。
+   - `n, m`：分别表示结点总数和接收口数量。
+   - `ind[maxn]`：入度数组，记录每个结点的入度数。
+   - `nds[maxn]`：污水量数组，用 `pair<i128, i128>` 表示分子和分母。
+   - `adj[maxn]`：邻接表，以向量数组的形式存储每个结点的排出管道指向的结点。
+
+3. **辅助函数**：
+   - **`gcd128`**：使用欧几里得算法计算两个 `__int128` 数的最大公约数，确保分数能够被正确地约分。
+   - **`simplify_fraction`**：将分数 `p/q` 简化为最简形式，即分子和分母同时除以它们的最大公约数。
+   - **`add_fractions`**：实现分数的加法，返回两个分数相加后的最简分数形式。首先找到两个分数的最小公倍数作为公共分母，然后通分相加，最后进行约分。
+   - **`operator<<` 重载**：由于 C++ 标准库不支持直接输出 `__int128` 类型，因此需要重载 `<<` 操作符，将 `__int128` 类型转换为字符串后输出。
+
+4. **主函数逻辑**：
+   - **I/O 优化**：通过 `ios::sync_with_stdio(false);` 和 `cin.tie(nullptr);` 提高输入输出效率，避免因频繁的同步导致的性能问题。
+   - **输入处理**：
+     - 读取结点总数 `n` 和接收口数量 `m`。
+     - 遍历每个结点，初始化其污水量：
+       - 如果是接收口（编号 $\leq m$），则污水量初始化为 $1/1$。
+       - 否则，污水量初始化为 $0/1$。
+     - 读取每个结点的排出管道数量 `d_i`，并将目标结点添加到邻接表中，同时更新目标结点的入度。
+   - **拓扑排序与污水分配**：
+     - 将所有入度为0的结点（即接收口）加入队列 `qu`。
+     - 当队列不为空时，弹出队首结点 `u`，并处理其污水分配：
+       - 如果 `u` 有排出管道，则将其污水量均等分配到所有目标结点：
+         - 计算分配给每个目标结点的污水量 `distribute`，即 `u` 的污水量除以排出管道数量 `d_u`。
+         - 遍历每个目标结点 `v`，将 `distribute` 加到 `v` 的当前污水量上，并更新 `v` 的入度。
+         - 如果 `v` 的入度减为0，则将其加入队列。
+       - 如果 `u` 没有排出管道，则它是最终排水口，无需进一步处理。
+   - **输出结果**：
+     - 遍历所有结点，从编号 $1$ 到 $n$：
+       - 如果结点 `i` 没有排出管道（即 `adj[i].empty()`），则输出其污水量 `nds[i].first`（分子）和 `nds[i].second`（分母），以空格分隔，并换行。
+
+## 四、总结
+
+这道题目通过模拟污水在排水系统中的流动，要求计算每个最终排水口排出的污水量。由于系统中的管道不会形成回路，整个系统可以被视为一个有向无环图（DAG）。因此，可以利用拓扑排序的方法来处理污水的流向。
+
+关键点在于：
+
+1. **分数运算**：污水量以分数形式表示，必须处理分数的加法和约分，确保最终结果的正确性和简洁性。
+2. **拓扑排序**：使用Kahn算法进行拓扑排序，确保按照正确的顺序处理污水分配，避免漏算或重复计算。
+3. **高精度计算**：由于分子的值可能会非常大，使用 `__int128` 类型来存储分子和分母，以防止溢出。
+
+通过以上思路和实现，可以高效、准确地计算出每个最终排水口排出的污水量，满足题目的所有要求。
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