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bdb8bea73f
@ -1,9 +1,7 @@
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#include <cstdint>
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#include <iostream>
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#include <vector>
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#include <queue>
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#include <bitset>
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#include <exception>
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using ll = int64_t;
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using std::cin, std::cout;
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@ -226,3 +226,446 @@ int main(){
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- 对于更大规模的数据，需要优化数据结构和算法，例如使用更高效的方式存储DP信息（如并查集、最低公共祖先LCA等技术），以降低时间和空间复杂度。
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希望这些解释和注释对您理解和优化代码有所帮助！如果有进一步的问题，欢迎继续交流。
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# 100pts解
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### 题目概述
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本题涉及在一棵带权树上计算不同类型的暴龙（类似于节点类型）的红温值（即同类型暴龙任意两点之间的最大距离）。具体来说，给定一棵有 $n$ 个节点和边权的树，树上的每个节点都有 $k$ 种暴龙中的一种。对于每一种暴龙类型，定义其红温值为同类型暴龙之间的最大距离；如果该类型的暴龙数量小于2，则红温值为0。
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### 解题思路
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1. **树的预处理**：
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- **深度优先搜索 (DFS)**：计算每个节点的深度 (`dpt`)，以及从根节点到该节点的距离 (`w`)。
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- **二进制跳表 (Binary Lifting)**：预处理每个节点的祖先节点，以便快速计算任意两个节点的最近公共祖先 (LCA)。
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- **距离计算**：利用 LCA，计算任意两个节点之间的距离。
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2. **计算每种暴龙的红温值**：
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- 对于每种暴龙类型，首先选取其中任意两个节点，计算它们之间的距离作为初始的最大距离 (`ans`)。
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- 逐一遍历该类型的所有节点，对于每个新的节点，计算它与当前两个端点的距离，更新端点和 `ans` 的值以确保 `ans` 始终为当前类型的最大距离。
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### 代码详解与注释
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```cpp
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#include <cstdint>
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#include <iostream>
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#include <vector>
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#include <bitset>
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// 使用类型别名提高代码可读性
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using ll = int64_t;
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using std::cin, std::cout;
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// 常量定义
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const ll maxn = 5e5 + 5; // 最大节点数
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const ll L = 20; // 二进制跳表的层数，满足 n <= 5e5 时 2^20 > 5e5
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// 全局变量
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ll n, k; // 节点数和暴龙种类数
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ll a[maxn]; // a[i] 表示节点 i 的暴龙类型
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ll fa[maxn][L]; // fa[u][j] 表示节点 u 的 2^j 祖先节点
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ll dpt[maxn]; // dpt[u] 表示节点 u 的深度
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ll w[maxn]; // w[u] 表示节点 u 与根节点的距离
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std::vector<ll> g[maxn]; // g[i] 存储所有类型为 i 的节点
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std::vector<std::pair<ll, ll>> adj[maxn]; // adj[u] 存储节点 u 的所有邻接点及对应边权
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// DFS 预处理，计算深度和从根到每个节点的距离
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void dfs(const ll &fth, const ll &u){
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fa[u][0] = fth; // 记录节点 u 的直接父节点
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for(auto& [v, ww] : adj[u]){
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if(v == fth) continue; // 避免回到父节点
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dpt[v] = dpt[u] + 1; // 更新子节点的深度
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w[v] = w[u] + ww; // 更新子节点到根的距离
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dfs(u, v); // 递归遍历子节点
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}
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}
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// 初始化二进制跳表，用于快速查询 LCA
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void initfa(){
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for(ll j = 1; j < L; j++){ // 对于每一层
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||||
for(ll u = 1; u <= n; u++){ // 对于每个节点
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||||
fa[u][j] = fa[fa[u][j-1]][j-1]; // 2^j 祖先等于 2^(j-1) 的祖先的 2^(j-1) 祖先
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}
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}
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}
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// 计算两个节点的最近公共祖先 (LCA)
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ll lca(ll u, ll v){
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if(dpt[u] < dpt[v]) std::swap(u, v); // 确保 u 的深度不小于 v
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ll dif = dpt[u] - dpt[v];
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||||
// 将 u 提升到与 v 在同一深度
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for(ll j = 0; dif > 0; j++, dif >>= 1){
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if(dif & 1){
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u = fa[u][j];
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}
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}
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if(u == v) return u; // 如果 v 是 u 的祖先，直接返回
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||||
// 从高位到低位同时提升 u 和 v，找到 LCA
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||||
for(ll j = L-1; j >= 0; j--){
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||||
if(fa[u][j] != fa[v][j]){
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||||
u = fa[u][j];
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v = fa[v][j];
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}
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}
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return fa[u][0]; // 返回 LCA
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}
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// 计算两个节点之间的距离
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||||
ll dis(const ll &u, const ll &v){
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return w[u] + w[v] - 2 * w[lca(u, v)];
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}
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int main(){
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||||
// 关闭同步，提高输入输出速度
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std::ios::sync_with_stdio(false);
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std::cin.tie(nullptr);
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std::cout.tie(nullptr);
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// 输入节点数和暴龙种类数
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cin >> n >> k;
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// 输入每个节点的暴龙类型，并将节点编号加入对应类型的列表
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for(ll i = 1; i <= n; i++){
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cin >> a[i];
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g[a[i]].push_back(i);
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}
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// 输入树的边
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for(ll i = 1; i < n; i++){
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ll u, v, c;
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cin >> u >> v >> c;
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adj[u].emplace_back(v, c);
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||||
adj[v].emplace_back(u, c);
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}
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// 从根节点 1 开始进行 DFS 预处理
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dfs(0, 1);
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// 初始化二进制跳表
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initfa();
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// 对于每一种暴龙类型，计算其红温值
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for(ll i = 1; i <= k; i++){
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// 如果该类型的暴龙数量小于2，红温值为0
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if(g[i].size() < 2){
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cout << "0\n";
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continue;
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}
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// 初始化第一个端点 u 和第二个端点 v
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ll u = g[i][0];
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ll v = g[i][1];
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// 计算初始的最大距离
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ll ans = dis(u, v);
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// 遍历该类型的剩余节点，更新端点和最大距离
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for(ll j = 2; j < (ll)g[i].size(); j++){
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ll du = dis(u, g[i][j]); // 当前节点与端点 u 的距离
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ll dv = dis(v, g[i][j]); // 当前节点与端点 v 的距离
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if(du > dv){
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||||
if(du > ans){
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v = g[i][j]; // 更新 v 为当前节点
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||||
ans = du; // 更新最大距离
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}
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||||
}
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||||
else{
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||||
if(dv > ans){
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||||
u = g[i][j]; // 更新 u 为当前节点
|
||||
ans = dv; // 更新最大距离
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
// 输出该类型的红温值
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cout << ans << '\n';
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}
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}
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```
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### 详细解释
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1. **输入与预处理**：
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- **节点信息**：首先读取节点数 `n` 和暴龙种类数 `k`。然后读取每个节点的暴龙类型，存储在数组 `a` 中，并将每个节点编号加入对应类型的列表 `g[i]`。
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- **树的构建**：接下来读取 `n-1` 条边，每条边连接两个节点并有一个边权，将这些信息存储在邻接表 `adj` 中。
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2. **深度优先搜索 (DFS) 和二进制跳表初始化**：
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- **DFS**：从根节点（这里假设为节点1）开始遍历整棵树，计算每个节点的深度 `dpt`，以及从根节点到该节点的距离 `w`。同时，记录每个节点的直接父节点 `fa[u][0]`。
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||||
- **二进制跳表 (`initfa` 函数)**：构建一个 `fa` 数组，其中 `fa[u][j]` 表示节点 `u` 的 `2^j` 祖先节点。通过动态规划的方式，`fa[u][j] = fa[fa[u][j-1]][j-1]`，从而可以在对数时间内找到任意节点的祖先，用于高效计算 LCA。
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3. **最近公共祖先 (LCA) 和距离计算**：
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- **LCA (`lca` 函数)**：利用二进制跳表，首先将深度较深的节点提升到与另一个节点同一深度，然后同时提升两者直到找到 LCA。
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- **距离 (`dis` 函数)**：利用 LCA 计算两个节点之间的距离，即 `w[u] + w[v] - 2*w[lca(u, v)]`。
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4. **计算每种暴龙的红温值**：
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- 对于每种暴龙类型 `i`：
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- 如果该类型的节点数少于2，输出0。
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- 否则，选择该类型中的任意两个节点作为初始的两个端点 `u` 和 `v`，计算它们之间的距离作为初始的红温值 `ans`。
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- 遍历该类型的剩余节点，每遇到一个新节点，计算它与当前两个端点的距离 `du` 和 `dv`。
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- 如果 `du > dv`：
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- 如果 `du > ans`，则将端点 `v` 更新为当前节点，`ans` 更新为 `du`。
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- 否则：
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- 如果 `dv > ans`，则将端点 `u` 更新为当前节点，`ans` 更新为 `dv`。
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- 这种方法类似于在树上寻找直径的双 BFS 方法，通过两次遍历找到最大距离。
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5. **输出结果**：
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- 对每一种暴龙类型，输出其对应的红温值。
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### 算法复杂度分析
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- **预处理阶段**：
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- **DFS**：$O(n)$。
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- **二进制跳表初始化**：$O(n \log n)$。
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- **每种类型的红温值计算**：
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- 对于每种类型，遍历其所有节点，计算距离。
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- 总体复杂度为 $O(k \cdot m \cdot \log n)$，其中 $m$ 是每种类型的节点数。
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- **整体复杂度**：由于 $k \leq n$ 且每种类型的节点总和为 $n$，整体复杂度为 $O(n \log n + n \log n) = O(n \log n)$，满足题目约束。
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### 代码优化技巧
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1. **高效输入输出**：使用 `std::ios::sync_with_stdio(false)` 和 `std::cin.tie(nullptr)` 关闭同步和绑定，提高输入输出速度，避免因大量数据导致超时。
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2. **使用静态数组**：利用预定义大小的静态数组（如 `a[maxn]`, `fa[maxn][L]` 等）提高访问速度和内存利用效率。
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3. **按类型存储节点**：将相同类型的节点集中存储在 `g[i]` 中，便于后续遍历和计算。
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### 总结
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本题通过有效地预处理树的深度、距离和 LCA，结合类似于双 BFS 的方法，能够在较低的时间复杂度内求解每一种暴龙类型的红温值。关键在于利用二进制跳表实现高效的 LCA 查询，以及聪明地遍历节点以找到最大距离。这种方法在处理大规模树型数据时尤为有效，适用于类似的树上最远点对问题。
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### 详细解释 LCA（最近公共祖先）与二进制位的关系
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在树结构中，**最近公共祖先（Lowest Common Ancestor, LCA）** 是指两个节点在树中共同的最深的祖先节点。高效地计算 LCA 对于许多树相关的问题至关重要，例如本题中用于计算节点间距离。
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本文将详细解释如何利用 **二进制提升（Binary Lifting）** 技术来高效计算 LCA，特别是如何通过二进制位的概念实现这一过程。
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#### 二进制提升概述
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**二进制提升** 是一种预处理技术，用于在树上快速查询任意两个节点的 LCA。其核心思想是为每个节点预计算并存储其 2^j 祖先节点，其中 j 从 0 到 log₂n。这允许我们以对数时间复杂度（O(log n)）跳跃树的高度，从而快速找到 LCA。
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#### 关键概念
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1. **2^j 祖先节点（fa[u][j]）**：
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- 对于树中的每个节点 u 和每个 j（0 ≤ j ≤ log₂n），fa[u][j] 表示节点 u 的第 2^j 级祖先节点。
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- 例如，fa[u][0] 是 u 的直接父节点，fa[u][1] 是 u 的祖父节点（2^1 = 2 跳），fa[u][2] 是 u 的曾祖父节点（2^2 = 4 跳），依此类推。
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2. **节点深度（dpt）**：
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- dpt[u] 表示节点 u 相对于根节点的深度（根节点深度为 0）。
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3. **距离表示与二进制位**：
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- 任意整数可以用二进制表示为若干个 2^j 的和。例如，13 = 8 + 4 + 1 = 2^3 + 2^2 + 2^0，对应二进制 1101。
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- 这种表示方式允许我们通过二进制位选择性地跳跃若干步，从而高效地移动节点。
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#### 计算 LCA 的步骤与二进制位的应用
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以下为计算两个节点 u 和 v 的 LCA 的主要步骤，详细解释了二进制位的应用：
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1. **确保 u 在较深的位置**：
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```cpp
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if(dpt[u] < dpt[v]) std::swap(u, v);
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```
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确保节点 u 比节点 v 深，这样我们只需处理 u 的提升。
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2. **计算深度差并用二进制表示**：
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```cpp
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||||
ll dif = dpt[u] - dpt[v];
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```
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计算节点 u 和节点 v 之间的深度差 dif。
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3. **将 u 提升到与 v 同一深度**：
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```cpp
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||||
for(ll j = 0; dif > 0; j++, dif >>= 1){
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||||
if(dif & 1){
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||||
u = fa[u][j];
|
||||
}
|
||||
}
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||||
```
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||||
- **二进制位检查**：通过检查 dif 的每一位（从低到高），确定需要提升的步数。
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||||
- **位的意义**：每一位 j（从 0 开始）对应着 2^j 步的提升。
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||||
- **示例**：
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- 若 dif = 13（即二进制 1101），则表示需要提升 2^0 + 2^2 + 2^3 = 1 + 4 + 8 = 13 步。
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- 循环过程中：
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- j=0: dif & 1 = 1，提升 2^0 = 1 步，u = fa[u][0]
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||||
- j=1: dif >> 1 = 6，dif & 1 = 0，跳过
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||||
- j=2: dif >> 2 = 3，dif & 1 = 1，提升 2^2 = 4 步，u = fa[u][2]
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||||
- j=3: dif >> 3 = 1，dif & 1 = 1，提升 2^3 = 8 步，u = fa[u][3]
|
||||
- 最终，u 被提升 13 步，达到与 v 同一深度。
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||||
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||||
4. **检查是否已经找到 LCA**：
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||||
```cpp
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||||
if(u == v) return u;
|
||||
```
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||||
如果提升后 u 和 v 重合，则 LCA 为 u（或 v）。
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||||
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||||
5. **同步提升 u 和 v 以找到 LCA**：
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```cpp
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||||
for(ll j = L - 1; j >= 0; j--){
|
||||
if(fa[u][j] != fa[v][j]){
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||||
u = fa[u][j];
|
||||
v = fa[v][j];
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
return fa[u][0];
|
||||
```
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||||
- **从高位到低位**：从最大的 j 开始，逐步检查并提升 u 和 v。
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||||
- **条件判断**：若 fa[u][j] != fa[v][j]，则同时提升 u 和 v 到它们各自的第 2^j 祖先。
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||||
- **找到 LCA**：最终，u 和 v 的父节点（fa[u][0]）为 LCA。
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||||
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||||
**二进制位的应用**：
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||||
- 通过从高到低的二进制位检查，我们确保每一步尽可能多地提升 u 和 v，快速缩小它们的差距。
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||||
- 这种方式最大限度地利用了二进制表示中的高位，从而在对数步内完成提升，达到高效计算的目的。
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||||
#### 示例说明
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让我们通过一个具体示例来说明二进制位在 LCA 计算中的应用。
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||||
**示例树结构**：
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```
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1
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/ \
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||||
2 3
|
||||
/ / \
|
||||
4 5 6
|
||||
/ \
|
||||
7 8
|
||||
```
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||||
|
||||
**节点深度（dpt）与 fa 表**：
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| 节点 | dpt | fa[u][0] | fa[u][1] | fa[u][2] | fa[u][3] |
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||||
|------|-----|----------|----------|----------|----------|
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||||
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
|
||||
| 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
|
||||
| 3 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
|
||||
| 4 | 2 | 2 | 1 | 0 | 0 |
|
||||
| 5 | 2 | 3 | 1 | 0 | 0 |
|
||||
| 6 | 2 | 3 | 1 | 0 | 0 |
|
||||
| 7 | 3 | 4 | 2 | 1 | 0 |
|
||||
| 8 | 3 | 4 | 2 | 1 | 0 |
|
||||
|
||||
**查询 LCA(7, 5)**：
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||||
1. **节点深度**：
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- dpt[7] = 3
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- dpt[5] = 2
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2. **保证 u 深度 >= v 深度**：
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||||
- u = 7, v = 5
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||||
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||||
3. **计算深度差 dif = 3 - 2 = 1（二进制 0001）**：
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||||
- 0001 表示需要提升 2^0 = 1 步。
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||||
4. **提升 u 7 一步**：
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||||
- fa[7][0] = 4 → u = 4
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||||
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||||
5. **比较 u 和 v**：
|
||||
- u = 4, v = 5
|
||||
- u ≠ v，因此需要继续提升。
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||||
|
||||
6. **同步提升 u 和 v**：
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||||
- 从 j = L-1（假设 L=4）到 j=0：
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||||
- j=3 到 j=2：fa[4][3] = 0, fa[5][3] = 0 → 相等，跳过
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||||
- j=1：
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||||
- fa[4][1] = 1
|
||||
- fa[5][1] = 1
|
||||
- 相等，跳过
|
||||
- j=0：
|
||||
- fa[4][0] = 2
|
||||
- fa[5][0] = 3
|
||||
- 不相等，提升：
|
||||
- u = fa[4][0] = 2
|
||||
- v = fa[5][0] = 3
|
||||
|
||||
7. **找到 LCA**：
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||||
- 最终，u = 2，v = 3
|
||||
- fa[2][0] = 1
|
||||
- fa[3][0] = 1
|
||||
- LCA = 1
|
||||
|
||||
**总结**：LCA(7,5) = 1
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||||
#### 二进制位在代码中的应用
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||||
让我们回顾代码中 LCA 相关部分，并结合上述示例进一步理解。
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||||
```cpp
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||||
ll lca(ll u, ll v){
|
||||
if(dpt[u] < dpt[v]){
|
||||
std::swap(u, v);
|
||||
}
|
||||
ll dif = dpt[u] - dpt[v];
|
||||
// 将 u 提升到与 v 同一深度
|
||||
for(ll j = 0; dif > 0; j++, dif >>= 1){
|
||||
if(dif & 1){
|
||||
u = fa[u][j];
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
if(u == v){
|
||||
return u;
|
||||
}
|
||||
// 同时提升 u 和 v 直到它们的父节点相同
|
||||
for(ll j = L-1; j >= 0; j--){
|
||||
if(fa[u][j] != fa[v][j]){
|
||||
u = fa[u][j];
|
||||
v = fa[v][j];
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
return fa[u][0];
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
**详细解释**：
|
||||
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||||
1. **提升 u 到 v 的深度**：
|
||||
- 通过检查 dif 的每一位（即二进制位），决定是否需要进行 2^j 次提升。
|
||||
- 如果 dif 的某一位为 1，则将 u 提升 2^j 步。
|
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2. **同步提升 u 和 v**：
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- 从最高的二进制位（L-1）开始，逐步检查并提升 u 和 v。
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- 若 fa[u][j] != fa[v][j]，则将 u 和 v 分别提升 2^j 步，直到它们接近 LCA。
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3. **返回 LCA**：
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- 最终，fa[u][0] 即为 LCA。
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#### 二进制位与跳跃步数的对应关系
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- 每一位 j（从 0 开始）对应着 2^j 的跳跃步数。
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- 通过位操作，可以将任意步数的提升分解为若干个 2^j 的跳跃，从而高效实现多级提升。
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**具体对应关系**：
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| j（位数） | 2^j（跳跃步数） |
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|----------|----------------|
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| 0 | 1 |
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| 1 | 2 |
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| 2 | 4 |
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| 3 | 8 |
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| ... | ... |
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| L-1 | 2^(L-1) |
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**举例说明**：
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假设需要提升一个节点 u 13 步：
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- 13 的二进制表示为 1101。
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- 这意味着需要：
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- 2^0 = 1 步（j=0）
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- 2^2 = 4 步（j=2）
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- 2^3 = 8 步（j=3）
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- 通过分别提升 u 一步、四步和八步，总共提升13步。
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在代码中，这通过以下操作实现：
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```cpp
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for(ll j = 0; dif > 0; j++, dif >>= 1){
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if(dif & 1){
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u = fa[u][j];
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}
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}
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```
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- 每次循环检查 dif 的最低位（dif & 1）。
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- 若为1，则将 u 提升 2^j 步，即 u = fa[u][j]。
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- 然后，将 dif 右移一位（dif >>= 1），准备检查下一位。
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#### 为什么二进制提升高效？
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- **时间复杂度**：计算 LCA 的时间复杂度为 O(log n)，因为提升和同步提升均涉及对数级别的操作。
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- **空间复杂度**：需要 O(n log n) 的空间来存储 fa 表，但这对于 n ≤ 5×10^5 是可接受的。
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相比于传统的每次向上遍历节点的方式（可能达到 O(n) 的时间复杂度），二进制提升显著提高了效率，特别是在处理大规模数据时。
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### 总结
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在本题中，**二进制提升** 技术通过预计算每个节点的 2^j 祖先，结合二进制位的表示，能够在对数时间内高效地计算树中任意两个节点的 LCA。这种方法的核心在于利用二进制位对应的跳跃步数，实现快速的多级提升，从而优化查询效率。理解并掌握二进制提升对于解决大规模树问题（如本题）具有重要意义。
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