update binExp
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bcb5e1b27b
commit
57cc7b6969
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@ -0,0 +1 @@
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2 10 9
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@ -0,0 +1,35 @@
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#include<bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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int binExp(int b,int e,int m){
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int r = 1;
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while(e>0){
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if(e%2==1){
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r = (r*b)%m;
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}
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b = b*b %m;
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e = e>>1;
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}
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return r;
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}
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#ifndef ISTEST
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signed main(){
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cin.sync_with_stdio(false);
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cin.tie(0);
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int a,b,p;
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cin>>a>>b>>p;
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int r= binExp(a,b,p);
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cout<<a<<"^"<<b<<" mod "<<p<<"="<<r<<endl;
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}
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#endif
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#ifdef ISTEST
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#define assertr(e){if(!(e)){cerr<<"error on "<<#e<<" :"<<(e)<<endl;return -1;}}
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int main(){
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assertr(binExp(2, 10, 9)==6);
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}
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#endif
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@ -0,0 +1,260 @@
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快速幂算法是一种高效计算大整数幂次的方法，时间复杂度为 $O(\log n)$，远优于直接的幂运算 $O(n)$。其核心思想是将指数的二进制展开，通过平方和乘法快速计算幂次。以下是详细的解释和实现。
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### 核心思想
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假设我们要计算 $a^b \mod m$，其基本思想如下：
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1. 如果 $b$ 是偶数：
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$
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a^b = (a^{b/2})^2
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$
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2. 如果 $b$ 是奇数：
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$
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a^b = a \cdot a^{b-1}
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$
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通过这种递归分治的方法，可以将指数迅速减半，从而提高计算效率。
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### 算法步骤
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1. 初始化结果 $result = 1$。
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2. 当 $b > 0$ 时，执行以下循环：
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- 如果 $b$ 是奇数，更新结果：$result = (result \cdot a) \mod m$。
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- 更新基数：$a = (a \cdot a) \mod m$。
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- 将 $b$ 右移一位（相当于除以 2）。
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3. 返回结果。
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### 代码实现
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以下是 C++ 代码实现：
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```cpp
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#include <iostream>
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using namespace std;
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// 快速幂算法，计算 (base^exp) % mod
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long long modExp(long long base, long long exp, long long mod) {
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long long result = 1; // 初始化结果
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while (exp > 0) {
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if (exp % 2 == 1) { // 如果 exp 是奇数
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result = (result * base) % mod;
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}
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base = (base * base) % mod; // 基数自乘
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exp /= 2; // 指数右移一位
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}
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return result;
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}
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int main() {
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long long base = 3, exp = 200, mod = 13;
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cout << base << "^" << exp << " % " << mod << " = " << modExp(base, exp, mod) << endl;
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return 0;
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}
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```
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### 逐行解释
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1. **函数声明和初始化**：
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```cpp
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long long modExp(long long base, long long exp, long long mod) {
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long long result = 1;
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```
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- `modExp` 函数接受三个参数：`base` (底数)，`exp` (指数)，和 `mod` (模数)。
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- `result` 初始化为 1，将用于存储最终结果。
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2. **循环**：
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```cpp
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while (exp > 0) {
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```
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- 当 `exp` 大于 0 时，继续循环。
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3. **处理指数为奇数的情况**：
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```cpp
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if (exp % 2 == 1) {
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result = (result * base) % mod;
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}
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```
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- 如果 `exp` 是奇数（即 `exp % 2 == 1`），更新 `result` 为 `(result * base) % mod`。
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4. **更新基数和指数**：
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```cpp
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base = (base * base) % mod;
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exp /= 2;
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}
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```
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- 将 `base` 更新为 `(base * base) % mod`，这一步相当于将 `base` 平方。
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- 将 `exp` 右移一位（相当于除以 2）。
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5. **返回结果**：
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```cpp
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return result;
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}
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```
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- 当 `exp` 为 0 时，循环结束，返回 `result`。
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6. **主函数**：
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```cpp
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int main() {
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long long base = 3, exp = 200, mod = 13;
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cout << base << "^" << exp << " % " << mod << " = " << modExp(base, exp, mod) << endl;
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return 0;
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}
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```
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- 定义底数、指数和模数，调用 `modExp` 计算结果并输出。
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### 示例计算
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假设我们要计算 $3^{200} \mod 13$，步骤如下：
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1. 初始值：`result = 1`，`base = 3`，`exp = 200`，`mod = 13`。
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2. $200$ 是偶数，计算 `base = (3 * 3) % 13 = 9`，`exp = 200 / 2 = 100`。
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3. $100$ 是偶数，计算 `base = (9 * 9) % 13 = 81 % 13 = 3`，`exp = 100 / 2 = 50`。
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4. $50$ 是偶数，计算 `base = (3 * 3) % 13 = 9`，`exp = 50 / 2 = 25`。
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5. $25$ 是奇数，计算 `result = (1 * 9) % 13 = 9`，`base = (9 * 9) % 13 = 81 % 13 = 3`，`exp = 25 / 2 = 12`。
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6. 重复上述步骤，直到 `exp` 为 0。
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最终结果为 `3^{200} % 13 = 9`。
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通过这种方法，可以高效地计算大整数幂次的模运算。如果有其他问题或需要进一步的解释，随时告诉我！
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要使用费马小定理和快速幂来计算 $\frac{a}{b} \mod p$，需要先了解费马小定理和快速幂算法。
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### 费马小定理
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费马小定理表明，对于一个质数 $ p $ 和任意整数 $ a $，如果 $ a $ 不被 $ p $ 整除，则：
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$ a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} $
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通过这个定理，可以得到 $ a $ 的逆元：
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$ a^{p-2} \equiv a^{-1} \pmod{p} $
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### 快速幂算法
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快速幂算法用于高效地计算大整数的幂模某个数的值。其时间复杂度是 $ O(\log n) $。
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### 实现步骤
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1. **使用费马小定理求模逆元**。
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2. **使用快速幂算法求出 $ b^{p-2} \mod p $ 作为 $ b $ 的逆元**。
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3. **将分数转换为乘法形式**。
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### C++ 实现
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以下是使用费马小定理和快速幂算法计算 $\frac{a}{b} \mod p$ 的 C++ 实现：
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```cpp
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#include <iostream>
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using namespace std;
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// 快速幂算法，计算 (base^exp) % mod
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long long modExp(long long base, long long exp, long long mod) {
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long long result = 1;
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while (exp > 0) {
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if (exp % 2 == 1) { // 如果 exp 是奇数
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result = (result * base) % mod;
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}
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base = (base * base) % mod;
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exp /= 2;
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}
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return result;
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}
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// 求 b 在模 p 下的逆元，使用费马小定理
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long long modInverse(long long b, long long p) {
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// b^(p-2) ≡ b^(-1) (mod p)
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return modExp(b, p - 2, p);
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}
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// 计算 (a / b) % p
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long long modDivide(long long a, long long b, long long p) {
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long long inv = modInverse(b, p);
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return (a * inv) % p;
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}
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int main() {
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long long a = 10, b = 3, p = 7;
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try {
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long long result = modDivide(a, b, p);
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||||
cout << "Result of " << a << "/" << b << " mod " << p << " is: " << result << endl;
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||||
} catch (const invalid_argument &e) {
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||||
cout << e.what() << endl;
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}
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return 0;
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}
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```
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### 逐行解释
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1. **快速幂算法**：
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```cpp
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long long modExp(long long base, long long exp, long long mod) {
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long long result = 1;
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||||
while (exp > 0) {
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||||
if (exp % 2 == 1) { // 如果 exp 是奇数
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result = (result * base) % mod;
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||||
}
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||||
base = (base * base) % mod;
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exp /= 2;
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}
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return result;
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}
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```
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- `modExp` 函数实现快速幂算法，通过不断将指数减半，并在指数为奇数时乘以当前基数。
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- 循环中，基数平方并取模，指数减半，最终结果为 $(base^{exp}) \mod mod$。
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2. **求模逆元**：
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```cpp
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long long modInverse(long long b, long long p) {
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return modExp(b, p - 2, p);
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}
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```
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- 使用费马小定理计算 $ b $ 的逆元，即 $ b^{p-2} \mod p $。
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3. **计算 $\frac{a}{b} \mod p$**：
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```cpp
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long long modDivide(long long a, long long b, long long p) {
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long long inv = modInverse(b, p);
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||||
return (a * inv) % p;
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}
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```
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- 调用 `modInverse` 求出 $ b $ 的模逆元 $ inv $。
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- 计算并返回 $ (a \times inv) \mod p $。
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4. **主函数**：
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```cpp
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int main() {
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long long a = 10, b = 3, p = 7;
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try {
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||||
long long result = modDivide(a, b, p);
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||||
cout << "Result of " << a << "/" << b << " mod " << p << " is: " << result << endl;
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||||
} catch (const invalid_argument &e) {
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||||
cout << e.what() << endl;
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}
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return 0;
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}
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```
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- 定义 $ a, b, p $ 的值。
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- 调用 `modDivide` 计算结果并输出。
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通过这种方式，你可以在 C++ 中使用费马小定理和快速幂算法实现分数的模运算。如果有其他问题或需要进一步的解释，随时告诉我！
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Binary file not shown.
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@ -1,6 +1,6 @@
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add_rules("mode.release","mode.debug")
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if is_mode("debug")then
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add_cxxflags("-DOIPRINT")
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add_defines("OIPRINT")
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end
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target("st_raw")
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@ -19,4 +19,8 @@ target("test")
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target("P3865")
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set_kind("binary")
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add_files("./day6/P3865/*.cpp")
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target("binExp")
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set_kind("binary")
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add_files("./day6/binaryExponentiation/*.cpp")
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||||
add_tests("binExp",{files="./day6/binaryExponentiation/*.cpp",defines = "ISTEST"})
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