update

README.md

@@ -108,3 +108,7 @@ ll ksm(ll a,ll b,ll M){
 
 ## Day9
 ### 字典树与异或极值
+
+## Day11
+[树状数组MD](./day11/FenwickTree/FenwickTree.md)
+[树状数组PDF](./day11/FenwickTree/FenwickTree.pdf)

day11/FenwickTree/FenwickTree.md

@@ -218,4 +218,236 @@ int sum = query(6, bit) - query(2, bit);
 
 ### 总结
 
-我们需要使用 `l - 1` 是因为 `query(r, bit)` 计算的是从 `1` 到 `r` 的前缀和，而 `query(l - 1, bit)` 则是计算从 `1` 到 `l-1` 的前缀和。通过计算差值，我们得到了 `[l, r]` 区间的和。
+我们需要使用 `l - 1` 是因为 `query(r, bit)` 计算的是从 `1` 到 `r` 的前缀和，而 `query(l - 1, bit)` 则是计算从 `1` 到 `l-1` 的前缀和。通过计算差值，我们得到了 `[l, r]` 区间的和。
+
+在树状数组中，区间修改（即对数组中一段连续的区间进行统一的增加或减少）通常是通过一些技巧来实现的。由于传统的树状数组主要支持单点更新和前缀和查询，要支持区间修改，我们可以采用一些特殊的设计思路。
+
+### 1. 传统树状数组的局限性
+
+通常，树状数组适合以下操作：
+- **单点更新**：即在数组的某个位置 `i` 上加上或减去一个值 `delta`。
+- **前缀和查询**：查询从数组开始到某个位置 `i` 的所有元素的和。
+
+然而，直接使用树状数组并不容易支持区间修改（例如同时对 `[l, r]` 区间内的所有元素增加 `delta`）。
+
+### 2. 双树状数组解决方案
+
+为了实现区间修改，可以使用**两个树状数组**来分别维护差分数组。我们可以通过这两个树状数组来支持区间的加减操作。
+
+#### 思路
+
+考虑一个数组 `arr`，我们希望对其进行区间修改（比如对 `[l, r]` 区间内的所有元素增加一个值 `delta`）。我们可以引入两个树状数组 `B1` 和 `B2` 来分别维护 `arr` 的差分信息：
+- 树状数组 `B1` 用于处理与位置 `i` 成正比的影响。
+- 树状数组 `B2` 用于处理常数影响。
+
+#### 如何更新和查询
+
+1. **区间更新**：对 `[l, r]` 区间增加 `delta`，分两步来做：
+   - 更新 `B1` 数组：`B1[l] += delta`，`B1[r+1] -= delta`。
+   - 更新 `B2` 数组：`B2[l] += delta * (l-1)`，`B2[r+1] -= delta * r`。
+
+   具体实现：
+
+   ```cpp
+   void range_update(int l, int r, int delta, vector<int>& B1, vector<int>& B2, int n) {
+       // 更新 B1
+       update(l, delta, n, B1);
+       update(r + 1, -delta, n, B1);
+       // 更新 B2
+       update(l, delta * (l - 1), n, B2);
+       update(r + 1, -delta * r, n, B2);
+   }
+   ```
+
+2. **前缀和查询**：查询前缀和 `sum(1...i)` 可以通过以下方式获得：
+   - `sum(1...i) = query(i, B1) * i - query(i, B2)`
+
+   具体实现：
+
+   ```cpp
+   int prefix_sum(int i, vector<int>& B1, vector<int>& B2) {
+       return query(i, B1) * i - query(i, B2);
+   }
+   ```
+
+3. **区间查询**：查询区间 `[l, r]` 的和：
+   - `sum(l...r) = prefix_sum(r) - prefix_sum(l-1)`
+
+   具体实现：
+
+   ```cpp
+   int range_query(int l, int r, vector<int>& B1, vector<int>& B2) {
+       return prefix_sum(r, B1, B2) - prefix_sum(l - 1, B1, B2);
+   }
+   ```
+
+#### 代码示例
+
+以下是完整的代码示例，包含区间修改和区间查询的实现：
+
+```cpp
+#include <iostream>
+#include <vector>
+
+using namespace std;
+
+// 单点更新函数
+void update(int i, int delta, int n, vector<int>& bit) {
+    while (i <= n) {
+        bit[i] += delta;
+        i += i & (-i);
+    }
+}
+
+// 单点查询函数
+int query(int i, vector<int>& bit) {
+    int sum = 0;
+    while (i > 0) {
+        sum += bit[i];
+        i -= i & (-i);
+    }
+    return sum;
+}
+
+// 前缀和查询函数
+int prefix_sum(int i, vector<int>& B1, vector<int>& B2) {
+    return query(i, B1) * i - query(i, B2);
+}
+
+// 区间和查询函数
+int range_query(int l, int r, vector<int>& B1, vector<int>& B2) {
+    return prefix_sum(r, B1, B2) - prefix_sum(l - 1, B1, B2);
+}
+
+// 区间更新函数
+void range_update(int l, int r, int delta, vector<int>& B1, vector<int>& B2, int n) {
+    update(l, delta, n, B1);
+    update(r + 1, -delta, n, B1);
+    update(l, delta * (l - 1), n, B2);
+    update(r + 1, -delta * r, n, B2);
+}
+
+int main() {
+    int n = 8; // 数组长度
+    vector<int> B1(n + 1, 0), B2(n + 1, 0); // 初始化两个树状数组
+
+    // 对区间 [2, 5] 增加 3
+    range_update(2, 5, 3, B1, B2, n);
+
+    // 查询区间 [1, 5] 的和
+    cout << "Sum of range [1, 5]: " << range_query(1, 5, B1, B2) << endl; // 输出应为 12
+
+    return 0;
+}
+```
+
+### 总结
+
+通过使用两个树状数组，我们可以有效地实现区间更新（即对一个区间内的所有元素增加或减少某个值）和区间查询操作。这种方法的核心思想是利用差分数组的概念来维护区间的影响，从而在树状数组的基础上扩展了其功能。
+在树状数组中使用“差分乘以位置”的技巧，主要是为了将区间更新转化为树状数组能够处理的前缀和查询。这个技巧通过两个树状数组的配合，确保在进行区间更新后，我们仍然可以高效地计算任意区间的和。
+
+### 1. 问题背景
+
+我们希望能够对数组 `arr` 的某个区间 `[l, r]` 内的所有元素同时加上一个值 `delta`，并且在之后能够快速地查询任意区间的和。如果直接对每个元素单独加上 `delta`，那么每次区间更新的复杂度将会是 \(O(n)\)，这对于大数组来说非常不高效。因此，我们需要一种巧妙的方式来保持操作的效率。
+
+### 2. 差分数组与位置的关系
+
+回顾差分数组的原理：对于一个数组 `arr`，它的差分数组 `d` 是这样定义的：
+
+\[ d[i] = arr[i] - arr[i-1] \]
+
+如果我们对区间 `[l, r]` 的所有元素加上一个值 `delta`，差分数组会进行如下修改：
+
+- `d[l] += delta`：表示从位置 `l` 开始，所有元素增加 `delta`。
+- `d[r+1] -= delta`：表示从位置 `r+1` 开始，恢复原来的数值（即对冲 `delta` 的影响）。
+
+通过这个差分数组，我们可以将区间更新的影响从每个单独的元素转移到两个点上，从而使更新操作的复杂度降为 \(O(\log n)\)。
+
+### 3. 为什么需要“差分乘以位置”
+
+然而，仅仅使用一个差分数组并不足以处理查询区间和的问题。为了解决这个问题，我们使用两个树状数组：
+
+- 一个用于存储基本的差分（`B1`）。
+- 另一个用于存储差分乘以位置的结果（`B2`）。
+
+这里的“差分乘以位置”其实是为了在查询时恢复出正确的区间和。具体来说，使用差分乘以位置的原因如下：
+
+#### 1. 维持累加效应的平衡
+假设我们在区间 `[l, r]` 增加 `delta`，我们希望每个位置 `i`（其中 `l ≤ i ≤ r`）都增加 `delta`。考虑查询前缀和时：
+
+- 如果仅仅使用 `B1` 来存储差分数组，我们得到的是每个元素的差分累积量，这个累积量随着 `i` 增加。
+- 然而，如果我们想要恢复出真正的区间和，需要考虑这些差分对每个元素的累积影响。这时候，需要在 `B2` 中存储差分乘以位置的结果，这样在计算前缀和时就能抵消不必要的多加部分。
+
+#### 2. 构建正确的前缀和公式
+假设我们希望查询区间 `[1, i]` 的和：
+
+- 直接使用 `B1` 的查询结果（即 `query(i, B1) * i`）会累加过多的影响，因为 `query(i, B1)` 实际上只考虑到了基本差分，而没有考虑累积效应的差别。
+- 通过减去 `query(i, B2)`，我们就可以剔除多余的部分，得到正确的区间和。
+
+因此，前缀和的计算公式为：
+
+\[ \text{prefix\_sum}(i) = i \cdot \text{query}(i, B1) - \text{query}(i, B2) \]
+
+这个公式通过引入 `B2` 来校正查询结果，确保我们得到的前缀和是准确的。
+
+### 4. 具体作用
+
+- `B1` 负责记录直接的差分变化。
+- `B2` 通过存储“差分乘以位置”的值，帮助校正前缀和中的多余累积，使得前缀和查询能够返回正确的值。
+
+### 5. 总结
+
+“差分乘以位置”的引入，是为了确保在树状数组处理区间更新时，我们能够正确计算任意前缀和或区间和。通过使用两个树状数组，一个记录基础差分，另一个记录差分乘以位置，我们可以在 \(O(\log n)\) 时间内实现区间更新和区间查询，保持了树状数组的高效性。在树状数组中使用“差分乘以位置”的技巧，主要是为了将区间更新转化为树状数组能够处理的前缀和查询。这个技巧通过两个树状数组的配合，确保在进行区间更新后，我们仍然可以高效地计算任意区间的和。
+
+### 1. 问题背景
+
+我们希望能够对数组 `arr` 的某个区间 `[l, r]` 内的所有元素同时加上一个值 `delta`，并且在之后能够快速地查询任意区间的和。如果直接对每个元素单独加上 `delta`，那么每次区间更新的复杂度将会是 \(O(n)\)，这对于大数组来说非常不高效。因此，我们需要一种巧妙的方式来保持操作的效率。
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+### 2. 差分数组与位置的关系
+
+回顾差分数组的原理：对于一个数组 `arr`，它的差分数组 `d` 是这样定义的：
+
+\[ d[i] = arr[i] - arr[i-1] \]
+
+如果我们对区间 `[l, r]` 的所有元素加上一个值 `delta`，差分数组会进行如下修改：
+
+- `d[l] += delta`：表示从位置 `l` 开始，所有元素增加 `delta`。
+- `d[r+1] -= delta`：表示从位置 `r+1` 开始，恢复原来的数值（即对冲 `delta` 的影响）。
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+通过这个差分数组，我们可以将区间更新的影响从每个单独的元素转移到两个点上，从而使更新操作的复杂度降为 \(O(\log n)\)。
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+### 3. 为什么需要“差分乘以位置”
+
+然而，仅仅使用一个差分数组并不足以处理查询区间和的问题。为了解决这个问题，我们使用两个树状数组：
+
+- 一个用于存储基本的差分（`B1`）。
+- 另一个用于存储差分乘以位置的结果（`B2`）。
+
+这里的“差分乘以位置”其实是为了在查询时恢复出正确的区间和。具体来说，使用差分乘以位置的原因如下：
+
+#### 1. 维持累加效应的平衡
+假设我们在区间 `[l, r]` 增加 `delta`，我们希望每个位置 `i`（其中 `l ≤ i ≤ r`）都增加 `delta`。考虑查询前缀和时：
+
+- 如果仅仅使用 `B1` 来存储差分数组，我们得到的是每个元素的差分累积量，这个累积量随着 `i` 增加。
+- 然而，如果我们想要恢复出真正的区间和，需要考虑这些差分对每个元素的累积影响。这时候，需要在 `B2` 中存储差分乘以位置的结果，这样在计算前缀和时就能抵消不必要的多加部分。
+
+#### 2. 构建正确的前缀和公式
+假设我们希望查询区间 `[1, i]` 的和：
+
+- 直接使用 `B1` 的查询结果（即 `query(i, B1) * i`）会累加过多的影响，因为 `query(i, B1)` 实际上只考虑到了基本差分，而没有考虑累积效应的差别。
+- 通过减去 `query(i, B2)`，我们就可以剔除多余的部分，得到正确的区间和。
+
+因此，前缀和的计算公式为：
+
+\[ \text{prefix\_sum}(i) = i \cdot \text{query}(i, B1) - \text{query}(i, B2) \]
+
+这个公式通过引入 `B2` 来校正查询结果，确保我们得到的前缀和是准确的。
+
+### 4. 具体作用
+
+- `B1` 负责记录直接的差分变化。
+- `B2` 通过存储“差分乘以位置”的值，帮助校正前缀和中的多余累积，使得前缀和查询能够返回正确的值。
+
+### 5. 总结
+
+“差分乘以位置”的引入，是为了确保在树状数组处理区间更新时，我们能够正确计算任意前缀和或区间和。通过使用两个树状数组，一个记录基础差分，另一个记录差分乘以位置，我们可以在 \(O(\log n)\) 时间内实现区间更新和区间查询，保持了树状数组的高效性。