update

day7/inverse/1.in

@@ -0,0 +1 @@
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day7/inverse/1.out

@@ -0,0 +1,10 @@
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day7/inverse/2.in

@@ -0,0 +1 @@
+1500000 5285237

day7/inverse/inverse.cpp

@@ -0,0 +1,55 @@
+#include<bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+#define int long long
+
+int binExp(int b,int e,int m){
+    int r=1;
+    while(e>0){
+        if(e%2==1){
+            r=(r*b)%m;
+        }
+        b=(b*b)%m;
+        e=e>>1;
+    }
+    return r;
+}
+
+
+int inverse(int a,int p){
+    return binExp(a, p-2, p);
+}
+
+#ifdef OITEST
+#endif
+#ifndef OITEST
+#endif
+
+signed main(signed argc ,char* argv[]){
+    cin.sync_with_stdio(false);
+    cin.tie(0);
+
+    int n,p;
+    #ifdef OITEST
+    assert(argc==2);
+    string snum(argv[1]);
+    string ifilen=snum+".in";
+    string ofilen=snum+".out";
+    cout<<ifilen<<endl;
+    ifstream ifile(ifilen.c_str());
+    ifstream ofile(ofilen.c_str());
+    stringstream ss;
+    #define cin ifile
+    #define cout ss
+    #endif
+    cin>>n>>p;
+
+    for(int i=1;i<=n;i++){
+        cout<<inverse(i,p)<<endl;
+        #ifdef OITEST
+        int o,a;
+        ss>>o;
+        ofile>>a;
+        assert(o==a);
+        #endif
+    }
+}

day7/inverse/inverse_by_chat.md

@@ -257,4 +257,156 @@ int main() {
    - 定义 $ a, b, p $ 的值。
    - 调用 `modDivide` 计算结果并输出。
 
-通过这种方式，你可以在 C++ 中使用费马小定理和快速幂算法实现分数的模运算。如果有其他问题或需要进一步的解释，随时告诉我！
+使用扩展欧几里得算法（Extended Euclidean Algorithm, Exgcd）来求解模逆元也是一种经典且高效的方法，特别是在处理大数时更为优越。接下来，我将详细解释如何使用扩展欧几里得算法来实现分数 \(\frac{a}{b} \mod p\) 的计算，并与快速幂进行比较。
+
+### 扩展欧几里得算法的原理
+
+扩展欧几里得算法不仅可以用于求两个数的最大公约数（GCD），还能求出模逆元。对于两个整数 \(a\) 和 \(b\)，扩展欧几里得算法可以找到一组整数 \(x\) 和 \(y\)，使得：
+
+\[
+ax + by = \gcd(a, b)
+\]
+
+当 \(a\) 和 \(b\) 互质时，\(\gcd(a, b) = 1\)，因此方程变为：
+
+\[
+ax + by = 1
+\]
+
+在这种情况下，\(x\) 就是 \(a\) 模 \(b\) 的逆元，即：
+
+\[
+a^{-1} \equiv x \pmod{b}
+\]
+
+### C++ 实现
+
+下面是使用扩展欧几里得算法计算分数 \(\frac{a}{b} \mod p\) 的 C++ 实现代码：
+
+```cpp
+#include <iostream>
+using namespace std;
+
+// 扩展欧几里得算法
+long long extendedGCD(long long a, long long b, long long &x, long long &y) {
+    if (b == 0) {
+        x = 1;
+        y = 0;
+        return a;
+    }
+    long long x1, y1;
+    long long gcd = extendedGCD(b, a % b, x1, y1);
+    x = y1;
+    y = x1 - (a / b) * y1;
+    return gcd;
+}
+
+// 求 b 的逆元，前提是 b 和 p 互质
+long long modInverse(long long b, long long p) {
+    long long x, y;
+    long long g = extendedGCD(b, p, x, y);
+    if (g != 1) {
+        throw invalid_argument("Inverse doesn't exist.");
+    } else {
+        // 确保结果是正数
+        return (x % p + p) % p;
+    }
+}
+
+// 计算 (a / b) % p
+long long modDivide(long long a, long long b, long long p) {
+    long long inv = modInverse(b, p);
+    return (a * inv) % p;
+}
+
+int main() {
+    long long a = 10, b = 3, p = 7;
+    try {
+        long long result = modDivide(a, b, p);
+        cout << "Result of " << a << "/" << b << " mod " << p << " is: " << result << endl;
+    } catch (const invalid_argument &e) {
+        cout << e.what() << endl;
+    }
+    return 0;
+}
+```
+
+### 逐行解释
+
+1. **扩展欧几里得算法**：
+
+   ```cpp
+   long long extendedGCD(long long a, long long b, long long &x, long long &y) {
+       if (b == 0) {
+           x = 1;
+           y = 0;
+           return a;
+       }
+       long long x1, y1;
+       long long gcd = extendedGCD(b, a % b, x1, y1);
+       x = y1;
+       y = x1 - (a / b) * y1;
+       return gcd;
+   }
+   ```
+
+   - 当 \(b = 0\) 时，直接返回 \(a\) 作为 gcd，设 \(x = 1\) 和 \(y = 0\)。
+   - 递归调用 `extendedGCD(b, a % b, x1, y1)`，计算 gcd 及其对应的系数。
+   - 通过回溯，计算当前的 \(x\) 和 \(y\)。
+
+2. **求模逆元**：
+
+   ```cpp
+   long long modInverse(long long b, long long p) {
+       long long x, y;
+       long long g = extendedGCD(b, p, x, y);
+       if (g != 1) {
+           throw invalid_argument("Inverse doesn't exist.");
+       } else {
+           return (x % p + p) % p;
+       }
+   }
+   ```
+
+   - 使用扩展欧几里得算法计算 \(b\) 的模逆元 \(x\)。
+   - 如果 gcd 不为 1，则 \(b\) 和 \(p\) 不互质，逆元不存在。
+   - 否则，返回 \(x\) 的正值作为逆元。
+
+3. **计算 \(\frac{a}{b} \mod p\)**：
+
+   ```cpp
+   long long modDivide(long long a, long long b, long long p) {
+       long long inv = modInverse(b, p);
+       return (a * inv) % p;
+   }
+   ```
+
+   - 调用 `modInverse` 求出 \(b\) 的逆元 \(inv\)。
+   - 返回 \( (a \times inv) \mod p \)。
+
+4. **主函数**：
+
+   ```cpp
+   int main() {
+       long long a = 10, b = 3, p = 7;
+       try {
+           long long result = modDivide(a, b, p);
+           cout << "Result of " << a << "/" << b << " mod " << p << " is: " << result << endl;
+       } catch (const invalid_argument &e) {
+           cout << e.what() << endl;
+       }
+       return 0;
+   }
+   ```
+
+   - 定义 \(a, b, p\) 的值，计算并输出结果。
+
+### 为什么使用 Exgcd ？
+
+相比于快速幂算法，Exgcd 在某些场景下更加灵活和高效：
+
+1. **处理更大范围的数**：Exgcd 可以直接处理整数（包括负数），而快速幂需要在计算中额外处理这些情况。
+2. **无需质数模**：快速幂算法基于费马小定理，只能在模数为质数的情况下使用。而 Exgcd 不要求模数为质数。
+3. **更快的计算速度**：对于某些特定的输入，Exgcd 在常数时间上可能更快。
+
+通过这种方式，你可以在 C++ 中使用扩展欧几里得算法来实现高效的分数模运算。如果你还有其他问题或需要进一步的解释，随时告诉我！

xmake.lua

@@ -38,3 +38,12 @@ target("fperfect")
 target("pre88")
     set_kind("binary")
     add_files("./day6/pre88/*.cpp")
+
+target("inverse")
+    set_kind("binary")
+    add_files("./day7/inverse/*.cpp")
+    set_rundir("./day7/inverse")
+    for v=1,2 do 
+        local strname = tostring(v)
+        add_tests(strname,{files="./day7/inverse/*.cpp",defines="OITEST",runargs=strname,run_timeout=1000})
+    end