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a2366cf796
commit
c3817c55d8
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@ -0,0 +1,63 @@
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# 快速排序的败北
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## 题目背景
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小C写出如下快速排序程序：
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```cpp
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int n, a[1005];
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int cnt = 0;
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int partition(int l, int r) {
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cnt += r-l+1;
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swap(a[l], a[(l+r)/2]);
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int i = l+1, j = r, x = a[l];
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while(1){
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while(a[i]<x && i<=r) i++;
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while(a[j]>x && j>=l+1) j--;
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if(i>=j) break;
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swap(a[i],a[j]);
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i++;j--;
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}
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swap(a[l],a[j]);
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return j;
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}
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void qsort(int l, int r){
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if(l >= r) return;
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int m = partition(l,r);//分
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qsort(l,m-1);//解
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qsort(m+1,r);
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}
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int main(){
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n = 1000;
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for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
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qsort(1,n);
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return 0;
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}
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```
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## 题目描述
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你做为出题人，想要让小C的快排程序复杂度退化为 $O(n^2)$。
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给定整数 $k$，请你构造一组 $n=1000$ 的数据，使得小C的程序运行结束时，计数器 `cnt` 的值超过 $k$。
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请认真阅读【评分方式】
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## 输入格式
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输入1个整数 $k$，代表 `cnt` 要超过的值
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## 输出格式
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输出一行包含 $n=1000$ 个 `int` 范围整数
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## 提示
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### 评分方式
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共10个测试点，每个测试点10分。
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- 若输入不合法（数字个数少于或者多于 $1000$，格式不对），得 $0$ 分；
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- 否则 `checker` 会执行小C的快排程序并计算 `cnt` 的值，若最终 $cnt>k$ 则得10分、否则得0分。
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对于第 $i$ 个测试点，$k=400\times 2^i$。
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@ -0,0 +1,88 @@
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# 还原排列
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## 题目描述
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Alice有一个 $0\sim n$ 的排列 $p$，她告诉你 $m$ 条信息，每条信息形如 $(l,r,val)$，表示区间 $[l,r]$ 的 ${\rm mex}$ 值为 $val$。
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- 一个区间的 ${\rm mex}$ 值是最小的没有在这个区间中出现的自然数。
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你想要猜出Alice的排列 $p$，或声明无解。
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## 输入格式
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第一行两个整数 $n$ 和 $m$。
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随后 $m$ 行每行三个整数 $l,r,val$ 描述一条信息，表示区间 $[l,r]$ 的 ${\rm mex}$ 值为 $val$。
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## 输出格式
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如果不存在满足所有条件的排列，输出 $-1$。
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否则输出一行 $n+1$ 个正整数，表示一个 $0$ 到 $n$ 的排列。
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**本题采用 Special Judge**。如果满足条件的排列有多个，你可以输出任意一个。
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## 样例 #1
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### 样例输入 #1
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```
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3 4
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0 0 0
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0 1 1
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0 2 2
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1 3 3
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```
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### 样例输出 #1
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```
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3 0 1 2
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```
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## 样例 #2
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### 样例输入 #2
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```
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5 7
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0 1 0
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4 5 0
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1 3 1
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0 5 6
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||||
0 5 6
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2 5 3
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||||
2 3 1
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```
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||||
### 样例输出 #2
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```
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4 3 5 0 1 2
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```
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## 样例 #3
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### 样例输入 #3
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```
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见下发样例
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```
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### 样例输出 #3
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```
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```
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## 提示
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对于所有的数据满足：$1 \le n,m\le 5\times 10^5$，$ 0\le l,r\le n$，$0\le val\le n+1$。
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- Subtask 1(15 points)：$n,m\le 10$；
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||||
- Subtask 2(20 points)：$n,m\le 20$；
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||||
- Subtask 3(10 points)：$val=0$；
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||||
- Subtask 4(15 points)：排列和区间边界都随机生成；
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||||
- Subtask 5(10 points)：$n\le 10^5$；
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- Subtask 6(30 points)：无特殊限制。
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请注意使用效率较高的 IO 方式。
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@ -0,0 +1,6 @@
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#include<bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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int main(){
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}
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@ -0,0 +1,117 @@
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# 冒泡排序趟数期望
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## 题目背景
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Ran很喜欢【冒泡排序】，所以出了很多相关的题目，这又是其中一道。
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对于一个排列 $a[1...n]$，进行一趟冒泡排序的代码为：
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```cpp
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for(int i=1;i<n;++i){
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if(a[i]>a[i+1]) swap(a[i], a[i+1]);
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||||
}
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```
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||||
若排列在 $k$ 趟冒泡排序之后变为有序，则最小的 $k$ 定义为 $res$。
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## 题目描述
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给一个长度为 $n$ 的随机排列（ $n!$ 种情况等概率出现），请你计算 $res$ 的期望值，对 `1e9+7` 取模。
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例如 $n=3$:
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- $a = [1,2,3], res = 0$
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||||
- $a = [1,3,2], res = 1$
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||||
- $a = [2,1,3], res = 1$
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||||
- $a = [2,3,1], res = 2$
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||||
- $a = [3,1,2], res = 1$
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||||
- $a = [3,2,1], res = 2$
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||||
期望为 $(0+1+1+2+1+2)/6 = 7/6$
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## 输入格式
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输入一行1个整数 $n$
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## 输出格式
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输出1个整数代表答案
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## 样例 #1
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### 样例输入 #1
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```
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3
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```
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### 样例输出 #1
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||||
```
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166666669
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```
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||||
## 样例 #2
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### 样例输入 #2
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```
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10
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```
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||||
### 样例输出 #2
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||||
```
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801586487
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```
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## 样例 #3
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### 样例输入 #3
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```
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50
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```
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||||
### 样例输出 #3
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```
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||||
123038582
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```
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||||
## 样例 #4
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### 样例输入 #4
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```
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12345
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||||
```
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||||
### 样例输出 #4
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||||
```
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631836361
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||||
```
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||||
## 样例 #5
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||||
### 样例输入 #5
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||||
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||||
```
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923456
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||||
```
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||||
### 样例输出 #5
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```
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276256848
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```
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## 提示
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对于 20% 的数据，$n\le 8$
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对于 40% 的数据，$n\le 16$
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||||
对于 60% 的数据，$n \le 3000$
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||||
对于 80% 的数据，$n \le 10^5$
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对于 100% 的数据，$1\le n\le 10^6$
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@ -0,0 +1,86 @@
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|||
要解决这个问题，我们需要计算一个随机排列需要多少次冒泡排序才能完全有序的期望值。对于这个问题，我们可以采用概率和数学期望的知识进行计算。
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### 思路分析
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1. **冒泡排序的特性**：
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- 在每一趟冒泡排序中，至少有一个元素会被移到最终位置。
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- 因此，一个长度为 `n` 的排列最多需要 `n-1` 趟冒泡排序。
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||||
2. **逆序对**：
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||||
- 冒泡排序的趟数与排列的逆序对数量密切相关。
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- 一个逆序对 `(i, j)` 满足 `i < j` 且 `a[i] > a[j]`。
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||||
- 每次冒泡排序至少消除一个逆序对。
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3. **期望值计算**：
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- 我们需要计算的是在随机排列下冒泡排序趟数的期望值。
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||||
- 设 `E(n)` 为长度为 `n` 的随机排列需要的冒泡排序的期望趟数。
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### 数学推导
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对于一个长度为 `n` 的随机排列，它的逆序对数量期望为 `n*(n-1)/4`。因为每次冒泡排序消除一个逆序对，逆序对数量减为 0 所需的期望趟数可以看作是期望逆序对数。
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### 动态规划优化
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1. **定义状态**：
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- 我们用 `dp[i]` 表示长度为 `i` 的排列需要的期望冒泡排序趟数。
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2. **状态转移**：
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- 对于长度为 `i` 的排列，期望趟数 `dp[i]` 可以由长度为 `i-1` 的排列推导出来，加上在长度为 `i` 的排列上添加一个新的元素后的期望趟数变化。
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3. **最终结果**：
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||||
- 我们需要将结果对 `1e9+7` 取模。
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### C++ 实现
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以下是求解该问题的 C++ 代码：
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```cpp
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#include <iostream>
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#include <vector>
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using namespace std;
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const int MOD = 1e9 + 7;
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int mod_inv(int a, int m) {
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int m0 = m, t, q;
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int x0 = 0, x1 = 1;
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if (m == 1) return 0;
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while (a > 1) {
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q = a / m;
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t = m;
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m = a % m, a = t;
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t = x0;
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x0 = x1 - q * x0;
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x1 = t;
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}
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||||
if (x1 < 0) x1 += m0;
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return x1;
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}
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int main() {
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int n;
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cin >> n;
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vector<long long> dp(n + 1, 0);
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for (int i = 2; i <= n; ++i) {
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dp[i] = (dp[i - 1] + (i * (i - 1) / 2) % MOD * mod_inv(i, MOD)) % MOD;
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}
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||||
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||||
cout << dp[n] << endl;
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return 0;
|
||||
}
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```
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### 解释
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1. **求模逆元**：
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- 使用扩展欧几里得算法求模逆元。
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2. **动态规划**：
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- `dp[i]` 表示长度为 `i` 的排列需要的期望冒泡排序趟数。
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- 通过前一状态 `dp[i-1]` 递推得到当前状态 `dp[i]`。
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3. **输出结果**：
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- 最终结果输出 `dp[n]`，即长度为 `n` 的排列所需的期望冒泡排序趟数。
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该代码有效地计算了长度为 `n` 的随机排列的期望冒泡排序趟数，并对结果取模 `1e9+7`。
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@ -0,0 +1,85 @@
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# 捞鱼(fish)
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## 题目描述
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相信大家做过【Fishes】这题之后对捞鱼都很感兴趣，给1个 $n\times m$ 的鱼池，和一个边长 $r$ 的正方形渔网。鱼池里有 $k$ 条鱼，位置给定。
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现在尝试在所有合法位置（渔网必须全部在鱼池内部）撒网，请问能捕到 $x$ 条鱼的位置有多少个，请你输出 $x=0,1,...,k$ 时的所有答案。
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## 输入格式
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第一行输入4个整数 $n,m,r,k$
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接下来 $k$ 行，每行2个正整数 $(x,y)$ 代表1条鱼的位置，可能有重复
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## 输出格式
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输出 $k+1$ 行，分别代表能捕到 $0,1,...,k$ 条鱼的位置有多少个
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## 样例 #1
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### 样例输入 #1
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```
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3 3 2 3
|
||||
2 1
|
||||
2 2
|
||||
2 3
|
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```
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||||
|
||||
### 样例输出 #1
|
||||
|
||||
```
|
||||
0
|
||||
0
|
||||
4
|
||||
0
|
||||
```
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||||
|
||||
## 样例 #2
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||||
|
||||
### 样例输入 #2
|
||||
|
||||
```
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||||
1000000000 1000000000 10 4
|
||||
1 1
|
||||
5000 5000
|
||||
5001 5001
|
||||
5000 5000
|
||||
```
|
||||
|
||||
### 样例输出 #2
|
||||
|
||||
```
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||||
999999981999999961
|
||||
20
|
||||
19
|
||||
81
|
||||
0
|
||||
```
|
||||
|
||||
## 样例 #3
|
||||
|
||||
### 样例输入 #3
|
||||
|
||||
```
|
||||
见下发样例
|
||||
```
|
||||
|
||||
### 样例输出 #3
|
||||
|
||||
```
|
||||
|
||||
```
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||||
|
||||
## 提示
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||||
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||||
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对于30%的数据，$n,m\le 1000, r\le10, k\le 10^4$
|
||||
|
||||
对于另20%的数据，$n,m\le 10^5, r\le10, k\le10$
|
||||
|
||||
对于80%的数据，$n,m\le 10^5, r\le10, k\le 10^4$
|
||||
|
||||
对于100%的数据，$1\le n,m\le 10^9, 1\le r\le 10, 1\le k\le 10^4$
|
||||
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