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20240826/learn.md

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+# 选择题
+
+## 7
+
+> 邻接表(node{vector<?>}}) $\neq$ 邻接矩阵（array[n][n]）
+
+## 8
+
+### 二分图
+
+节点由两个集合组成，且两个集合内部没有边的图。
+
+二分图（Bipartite Graph）是一种特殊的图（graph），它的顶点集可以被划分为两个不相交的子集，使得每条边的两个端点分别属于这两个子集。简单来说，在二分图中，图的所有顶点可以分成两部分，且每条边都连接来自不同部分的顶点。
+
+形式化定义：
+
+- **G = (V, E)** 是一个图，其中 **V** 是顶点集，**E** 是边集。
+- **G** 是二分图，当且仅当存在一个划分 **(V1, V2)**，使得 **V1 ∪ V2 = V** 且 **V1 ∩ V2 = ∅**（即 **V1** 和 **V2** 不重叠），并且对于所有的 **(u, v) ∈ E**，都有 **u ∈ V1** 且 **v ∈ V2** 或者 **u ∈ V2** 且 **v ∈ V1**。
+
+### 二分图的性质
+
+1. **无奇环**：二分图中不包含奇数长度的环。如果一个图中不包含奇环，那么它一定是二分图。
+2. **着色**：二分图是可以用两种颜色对所有顶点进行着色的图，且相邻顶点不会有相同的颜色。
+
+### 二分图的应用
+
+- **匹配问题**：二分图常用于解决匹配问题（Matching），如最大匹配（Maximum Matching）和最大流问题中的二分图匹配。
+- **分组问题**：二分图用于建模需要将元素分为两个组的情况，比如在网络中将用户和服务器分开。
+- **任务分配**：在任务分配问题中，将任务和资源建模为二分图，找到最优分配方式。
+
+### 如何判断一个图是否是二分图
+
+常用的方法是**染色法**（BFS或DFS）：
+
+- 从任意一个顶点开始，将其染成一种颜色（如红色），然后将与其相邻的所有顶点染成另一种颜色（如蓝色）。
+- 对每个未被访问的顶点重复上述步骤。
+- 如果过程中发现一个顶点需要染成两种不同的颜色，则图不是二分图；否则，图是二分图。
+
+要计算 $ n $ 个顶点的二分图最多可以有多少条边，首先需要了解二分图的结构特性。二分图的顶点集可以划分为两个不相交的子集 $ V_1 $ 和 $ V_2 $，并且每条边都连接来自不同子集的顶点。因此，二分图的边数受限于这两个子集中顶点的数目。
+
+### 分析
+
+设 $ V_1 $ 和 $ V_2 $ 是二分图的两个顶点集，其中 $ |V_1| = n_1 $ 和 $ |V_2| = n_2 $，且 $ n_1 + n_2 = n $。在二分图中，所有的边都连接 $ V_1 $ 中的顶点和 $ V_2 $ 中的顶点，所以最大边数就是两个子集之间所有可能的连接数。
+
+#### 最大边数
+
+最大边数 $ E_{\text{max}} $ 就是所有可能的边数，即：
+$E_{\text{max}} = n_1 \times n_2$
+
+要使 $E_{\text{max}}$ 最大化，我们需要尽量均匀地分配顶点给 $ V_1 $ 和 $V_2 $。
+
+### 最大化边数的分配
+
+为了最大化 $ n_1 \times n_2 $，我们应该让 $ n_1 $ 和 $ n_2 $ 尽量接近。数学上，给定 $ n = n_1 + n_2 $，如果 $ n $ 是偶数，则最佳分配是 $ n_1 = n/2 $ 和 $ n_2 = n/2 $；如果 $ n $ 是奇数，则最佳分配是 $ n_1 = \lfloor n/2 \rfloor $ 和 $ n_2 = \lceil n/2 \rceil $。
+
+根据这些分配方式，我们可以总结如下：
+
+1. **如果 $ n $ 是偶数**：
+   $$
+   E_{\text{max}} = \left(\frac{n}{2}\right) \times \left(\frac{n}{2}\right) = \frac{n^2}{4}
+   $$
+2. **如果 $ n $ 是奇数**：
+   $$
+   E_{\text{max}} = \left(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \right) \times \left(\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil \right) = \left(\frac{n-1}{2}\right) \times \left(\frac{n+1}{2}\right) = \frac{n^2 - 1}{4}
+   $$
+
+### 结论
+
+综上所述，给定 $ n $ 个顶点的二分图最多可以有：
+
+$$
+E_{\text{max}} = \left\{
+\begin{array}{ll}
+\frac{n^2}{4}, & \text{如果 } n \text{ 是偶数} \\
+\frac{n^2 - 1}{4}, & \text{如果 } n \text{ 是奇数}
+\end{array}
+\right.
+$$
+
+这意味着当 $ n $ 个顶点均匀地分配在两个子集中时，二分图能够包含最多的边。
+
 # 编程选择题
 
 ## 2
@@ -76,7 +157,6 @@ int main() {
 
 该代码的主要功能是在一个未排序的数组中寻找第 `k` 小的元素，使用快速选择算法，它的平均时间复杂度为 `O(n)`。
 
-
 如果数组中的数字是**单调递增**或**单调递减**，`find` 函数仍然可以正确地找到第 `k` 小的元素，但在最坏情况下，算法的性能可能会变差。
 
 ### 单调递增的情况