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2024-08-26 14:56:16 +08:00

8.2 KiB

Raw Blame History

选择题

7

邻接表(node{vector}}) \neq 邻接矩阵（array[n][n]）

8

二分图

节点由两个集合组成，且两个集合内部没有边的图。

二分图（Bipartite Graph）是一种特殊的图（graph），它的顶点集可以被划分为两个不相交的子集，使得每条边的两个端点分别属于这两个子集。简单来说，在二分图中，图的所有顶点可以分成两部分，且每条边都连接来自不同部分的顶点。

形式化定义：

G = (V, E) 是一个图，其中 V 是顶点集，E 是边集。
G 是二分图，当且仅当存在一个划分 (V1, V2)，使得 V1 ∪ V2 = V 且 V1 ∩ V2 = ∅（即 V1 和 V2 不重叠），并且对于所有的 (u, v) ∈ E，都有 u ∈ V1 且 v ∈ V2 或者 u ∈ V2 且 v ∈ V1。

二分图的性质

无奇环：二分图中不包含奇数长度的环。如果一个图中不包含奇环，那么它一定是二分图。
着色：二分图是可以用两种颜色对所有顶点进行着色的图，且相邻顶点不会有相同的颜色。

二分图的应用

匹配问题：二分图常用于解决匹配问题（Matching），如最大匹配（Maximum Matching）和最大流问题中的二分图匹配。
分组问题：二分图用于建模需要将元素分为两个组的情况，比如在网络中将用户和服务器分开。
任务分配：在任务分配问题中，将任务和资源建模为二分图，找到最优分配方式。

如何判断一个图是否是二分图

常用的方法是染色法（BFS或DFS）：

从任意一个顶点开始，将其染成一种颜色（如红色），然后将与其相邻的所有顶点染成另一种颜色（如蓝色）。
对每个未被访问的顶点重复上述步骤。
如果过程中发现一个顶点需要染成两种不同的颜色，则图不是二分图；否则，图是二分图。

要计算 n 个顶点的二分图最多可以有多少条边，首先需要了解二分图的结构特性。二分图的顶点集可以划分为两个不相交的子集 V_1 和 $ V_2 $，并且每条边都连接来自不同子集的顶点。因此，二分图的边数受限于这两个子集中顶点的数目。

分析

设 V_1 和 V_2 是二分图的两个顶点集，其中 |V_1| = n_1 和 $ |V_2| = n_2 ，且 n_1 + n_2 = n 。在二分图中，所有的边都连接 V_1 中的顶点和 V_2 $ 中的顶点，所以最大边数就是两个子集之间所有可能的连接数。

最大边数

最大边数 E_{\text{max}} 就是所有可能的边数，即： E_{\text{max}} = n_1 \times n_2

要使 E_{\text{max}} 最大化，我们需要尽量均匀地分配顶点给 V_1 和 $V_2 $。

最大化边数的分配

为了最大化 $ n_1 \times n_2 ，我们应该让 n_1 和 n_2 尽量接近。数学上，给定 n = n_1 + n_2 ，如果 n 是偶数，则最佳分配是 n_1 = n/2 和 n_2 = n/2 ；如果 n 是奇数，则最佳分配是 n_1 = \lfloor n/2 \rfloor 和 n_2 = \lceil n/2 \rceil $。

根据这些分配方式，我们可以总结如下：

如果 n 是偶数：


E_{\text{max}} = \left(\frac{n}{2}\right) \times \left(\frac{n}{2}\right) = \frac{n^2}{4}

如果 n 是奇数：


E_{\text{max}} = \left(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \right) \times \left(\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil \right) = \left(\frac{n-1}{2}\right) \times \left(\frac{n+1}{2}\right) = \frac{n^2 - 1}{4}

结论

综上所述，给定 n 个顶点的二分图最多可以有：


E_{\text{max}} = \left\{
\begin{array}{ll}
\frac{n^2}{4}, & \text{如果 } n \text{ 是偶数} \\
\frac{n^2 - 1}{4}, & \text{如果 } n \text{ 是奇数}
\end{array}
\right.

这意味着当 n 个顶点均匀地分配在两个子集中时，二分图能够包含最多的边。

编程选择题

2

代码

#include <iostream>
#include <cstdlib>
using namespace std;

int n;
int d[10000];

int find(int L, int R, int k) {
    int x = rand() % (R - L + 1) + L;
    swap(d[L], d[x]);
    int a = L + 1, b = R;
    while (a <= b) {
        while (a <= b && d[a] < d[L])
            ++a;
        while (a <= b && d[b] >= d[L])
            --b;
        if (a < b) {
            swap(d[a], d[b]);
            ++a;
            --b;
        }
    }
    swap(d[L], d[b]);
    if (b - L + 1 == k)
        return d[b];
    if (b - L + 1 < k)
        return find(b + 1, R, k - (b - L + 1));
    return find(L, b - 1, k);
}

int main() {
    int k;
    cin >> n;
    cin >> k;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        cin >> d[i];
    cout << find(0, n - 1, k) << endl;
    return 0;
}

这段代码实现了快速选择算法（Quickselect），用于在未排序的数组中查找第 k 小的元素。

代码解释

输入部分：
- n 是数组 d 的大小。
- k 是我们要找的第 k 小的元素。
- 用户从输入中读取 n 和 k，然后读取 n 个整数填充数组 d。
find 函数：
- 这个函数通过递归的方式实现了快速选择算法。其参数 L 和 R 定义了搜索的区间，k 是要查找的第 k 小元素。
算法的核心逻辑：
- 随机选取一个枢轴（x），将这个枢轴的值与 d[L] 交换，使得枢轴在 d[L] 处。
- 使用两个指针 a 和 b，分别从 L+1 向右和从 R 向左遍历，重排元素使得枢轴左边的元素都小于它，右边的元素都大于它。
- 最后，交换 d[L] 和 d[b]，使得 d[b] 成为枢轴元素，并且 d[b] 的位置是它在排序后应有的位置。
- 根据枢轴的位置 b 与 k 的关系：
  - 如果 b - L + 1 == k，那么 d[b] 就是我们要找的第 k 小的元素。
  - 如果 b - L + 1 < k，则说明第 k 小的元素在枢轴右侧，因此递归搜索 b + 1 到 R 区间，寻找第 k - (b - L + 1) 小的元素。
  - 如果 b - L + 1 > k，则第 k 小的元素在枢轴左侧，因此递归搜索 L 到 b - 1 区间。
程序的执行流程：
- 主函数 main 读取输入后调用 find 函数，输出结果即为数组中第 k 小的元素。

代码功能总结

该代码的主要功能是在一个未排序的数组中寻找第 k 小的元素，使用快速选择算法，它的平均时间复杂度为 O(n)。

如果数组中的数字是单调递增或单调递减，find 函数仍然可以正确地找到第 k 小的元素，但在最坏情况下，算法的性能可能会变差。

单调递增的情况

在数组单调递增的情况下：

假设数组是 [1, 2, 3, ..., n]，且我们要找第 k 小的元素。
在每次调用 find 函数时，随机选择的枢轴 x 如果总是选择 d[L] 或者接近 d[L]，将会导致以下情况：
- 枢轴的值最小，每次都会将整个数组的一部分分给左边，右边是空的（a 会从 L+1 一路增加到 R+1）。
- 因此，每次递归只减少一个元素，导致 find 函数的递归深度达到 n，退化成类似于选择排序的行为，时间复杂度变为 O(n^2)。

单调递减的情况

在数组单调递减的情况下：

假设数组是 [n, n-1, n-2, ..., 1]，且我们要找第 k 小的元素。
每次调用 find 函数时，随机选择的枢轴 x 如果总是选择 d[L] 或者接近 d[L]，会有类似单调递增的情况：
- 枢轴的值最大，所有其他元素都被分到左边，右边为空（b 会从 R 一路减少到 L）。
- 每次递归仍然只减少一个元素，导致递归深度达到 n，时间复杂度也退化为 O(n^2)。

总结

虽然快速选择算法在随机数据或一般情况下具有 O(n) 的平均时间复杂度，但在输入数据是单调递增或单调递减且每次选择的枢轴都很不理想（例如总是选到最小或最大值）时，算法可能退化到最坏的情况，时间复杂度变为 O(n^2)。

要改善这种情况，可以采用随机化策略选择枢轴（如现在代码中所做的）或者使用“三点取中”的方式选择枢轴，以减少最坏情况发生的概率，从而保证算法的效率。

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