编程选择题

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代码

#include <iostream>
#include <cstdlib>
using namespace std;

int n;
int d[10000];

int find(int L, int R, int k) {
    int x = rand() % (R - L + 1) + L;
    swap(d[L], d[x]);
    int a = L + 1, b = R;
    while (a <= b) {
        while (a <= b && d[a] < d[L])
            ++a;
        while (a <= b && d[b] >= d[L])
            --b;
        if (a < b) {
            swap(d[a], d[b]);
            ++a;
            --b;
        }
    }
    swap(d[L], d[b]);
    if (b - L + 1 == k)
        return d[b];
    if (b - L + 1 < k)
        return find(b + 1, R, k - (b - L + 1));
    return find(L, b - 1, k);
}

int main() {
    int k;
    cin >> n;
    cin >> k;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        cin >> d[i];
    cout << find(0, n - 1, k) << endl;
    return 0;
}

这段代码实现了快速选择算法（Quickselect），用于在未排序的数组中查找第 k 小的元素。

代码解释

输入部分：
- n 是数组 d 的大小。
- k 是我们要找的第 k 小的元素。
- 用户从输入中读取 n 和 k，然后读取 n 个整数填充数组 d。
find 函数：
- 这个函数通过递归的方式实现了快速选择算法。其参数 L 和 R 定义了搜索的区间，k 是要查找的第 k 小元素。
算法的核心逻辑：
- 随机选取一个枢轴（x），将这个枢轴的值与 d[L] 交换，使得枢轴在 d[L] 处。
- 使用两个指针 a 和 b，分别从 L+1 向右和从 R 向左遍历，重排元素使得枢轴左边的元素都小于它，右边的元素都大于它。
- 最后，交换 d[L] 和 d[b]，使得 d[b] 成为枢轴元素，并且 d[b] 的位置是它在排序后应有的位置。
- 根据枢轴的位置 b 与 k 的关系：
  - 如果 b - L + 1 == k，那么 d[b] 就是我们要找的第 k 小的元素。
  - 如果 b - L + 1 < k，则说明第 k 小的元素在枢轴右侧，因此递归搜索 b + 1 到 R 区间，寻找第 k - (b - L + 1) 小的元素。
  - 如果 b - L + 1 > k，则第 k 小的元素在枢轴左侧，因此递归搜索 L 到 b - 1 区间。
程序的执行流程：
- 主函数 main 读取输入后调用 find 函数，输出结果即为数组中第 k 小的元素。

代码功能总结

该代码的主要功能是在一个未排序的数组中寻找第 k 小的元素，使用快速选择算法，它的平均时间复杂度为 O(n)。

如果数组中的数字是单调递增或单调递减，find 函数仍然可以正确地找到第 k 小的元素，但在最坏情况下，算法的性能可能会变差。

单调递增的情况

在数组单调递增的情况下：

假设数组是 [1, 2, 3, ..., n]，且我们要找第 k 小的元素。
在每次调用 find 函数时，随机选择的枢轴 x 如果总是选择 d[L] 或者接近 d[L]，将会导致以下情况：
- 枢轴的值最小，每次都会将整个数组的一部分分给左边，右边是空的（a 会从 L+1 一路增加到 R+1）。
- 因此，每次递归只减少一个元素，导致 find 函数的递归深度达到 n，退化成类似于选择排序的行为，时间复杂度变为 O(n^2)。

单调递减的情况

在数组单调递减的情况下：

假设数组是 [n, n-1, n-2, ..., 1]，且我们要找第 k 小的元素。
每次调用 find 函数时，随机选择的枢轴 x 如果总是选择 d[L] 或者接近 d[L]，会有类似单调递增的情况：
- 枢轴的值最大，所有其他元素都被分到左边，右边为空（b 会从 R 一路减少到 L）。
- 每次递归仍然只减少一个元素，导致递归深度达到 n，时间复杂度也退化为 O(n^2)。

总结

虽然快速选择算法在随机数据或一般情况下具有 O(n) 的平均时间复杂度，但在输入数据是单调递增或单调递减且每次选择的枢轴都很不理想（例如总是选到最小或最大值）时，算法可能退化到最坏的情况，时间复杂度变为 O(n^2)。

要改善这种情况，可以采用随机化策略选择枢轴（如现在代码中所做的）或者使用“三点取中”的方式选择枢轴，以减少最坏情况发生的概率，从而保证算法的效率。

4.3 KiB Raw Blame History Unescape Escape

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代码

代码解释

代码功能总结

单调递增的情况

单调递减的情况

总结

4.3 KiB

Raw Blame History