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好的，为了解决这个问题，我们需要找到从节点 **1** 出发并返回到节点 **1** 的最短路径，这条路径要求每条边最多只能使用一次（不论方向）。为了高效地处理大规模数据，我们将使用预分配的数组来表示图的邻接表，而不是使用动态的 `vector`。
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以下是详细的解决方案和完整的 C++ 实现。
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## 解题思路
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### 1. 图的表示
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由于每条无向边 $(u, v, w_1, w_2)$ 可以看作是两条有向边：
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- $u \rightarrow v$ 权重为 $w_1$
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- $v \rightarrow u$ 权重为 $w_2$
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因此，我们将无向图转换为有向图来处理。
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### 2. 寻找最短环路的方法
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**基本思路**：
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对于从节点 **1** 出发的每一条边 $(1, v, w_1)$，我们可以：
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1. **暂时移除**这条边（即移除 $1 \rightarrow v$ 和 $v \rightarrow 1$）。
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2. **从节点 $v$ 出发，使用 Dijkstra 算法寻找回到节点 **1** 的最短路径**。
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3. 若找到路径，则环路长度为 $w_1 + \text{路径长度}$。
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4. 在所有可能的环路中，选择最小的一个。
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由于要求每条边最多只能使用一次，因此移除该边后寻找的路径自然不会重复使用这条边。
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**优化措施**：
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- **预分配邻接表**：使用静态数组而非动态 `vector` 来存储边，以提高访问速度。
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- **使用版本号优化 Dijkstra**：为了避免每次 Dijkstra 都清空整个距离数组，我们使用版本号来标记节点的访问状态，这样可以快速重置状态。
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- **快速输入**：使用 `scanf` 而不是 `cin` 以加快输入速度，尤其是在大规模数据下。
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### 3. 实现细节
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- **邻接表结构**：
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```cpp
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struct Edge {
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int to; // 目标节点
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int weight; // 边权重
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int next; // 下一条边的索引
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};
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```
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- **全局变量**：
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- `edges[MAXM * 2]`：存储所有的有向边（每条无向边对应两条有向边）。
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- `head[MAXN]`：存储每个节点的第一条出边的索引。
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- `edge_cnt`：当前边的数量。
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- **Dijkstra 优化**：
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- 使用 `priority_queue` 实现最小堆。
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- 使用一个全局的 `dist` 数组，并配合 `version` 数组来快速重置节点的距离状态。
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### 4. 边的阻断
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在每次 Dijkstra 运行时，我们需要阻断两条边（$u \rightarrow v$ 和 $v \rightarrow u$）来确保这条边在环路中不被重复使用。因此，我们需要记录每条无向边对应的两个有向边的索引。
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## 完整的 C++ 实现
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以下是基于上述思路的完整 C++ 代码。该代码实现了高效的图表示和多次 Dijkstra 运行，并在处理大规模数据时保持较高的性能。
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```cpp
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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// 定义常量
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const int MAXN = 40005; // 节点数量上限
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const int MAXM = 100005; // 边数量上限 (每条无向边拆分为两有向边)
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const long long INF = 1e18;
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// 边的结构体
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struct Edge {
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int to; // 目标节点
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int weight; // 边权重
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int next; // 下一条边的索引
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} edges[MAXM * 2];
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// 头指针数组
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int head_arr[MAXN];
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int edge_cnt = 0;
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// 添加一条有向边
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void add_edge(int u, int v, int w){
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edges[edge_cnt].to = v;
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edges[edge_cnt].weight = w;
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edges[edge_cnt].next = head_arr[u];
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head_arr[u] = edge_cnt++;
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}
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// Dijkstra 函数，返回从 start 到 node1 的最短距离，排除 blocked_edge1 和 blocked_edge2
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long long dijkstra(int start, int node1, int blocked_edge1, int blocked_edge2, int n){
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// 使用距离数组和版本号来避免每次都清零
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static long long dist_arr[MAXN];
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static int visited_version[MAXN];
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static int current_version = 0;
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current_version++;
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// 初始化距离
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for(int i = 1; i <= n; ++i){
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dist_arr[i] = INF;
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}
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dist_arr[start] = 0;
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// 优先队列 (距离, 节点)
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priority_queue<pair<long long, int>, vector<pair<long long, int>>, std::greater<pair<long long, int>>> pq;
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pq.emplace(0, start);
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while(!pq.empty()){
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auto [current_dist, u] = pq.top();
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pq.pop();
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if(u == node1){
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return current_dist;
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}
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if(current_dist > dist_arr[u]){
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continue;
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}
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// 遍历所有出边
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for(int e = head_arr[u]; e != -1; e = edges[e].next){
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// 如果这条边被阻断，则跳过
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if(e == blocked_edge1 || e == blocked_edge2){
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continue;
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}
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int v = edges[e].to;
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long long w = edges[e].weight;
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if(dist_arr[v] > dist_arr[u] + w){
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dist_arr[v] = dist_arr[u] + w;
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pq.emplace(dist_arr[v], v);
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}
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}
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}
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return INF;
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}
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int main(){
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ios::sync_with_stdio(false);
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cin.tie(0);
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// 初始化头指针数组
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memset(head_arr, -1, sizeof(head_arr));
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int n, m;
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cin >> n >> m;
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// 存储节点1的所有连接边
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// 每个元素是 pair<有向边的索引，(v, w1)>
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vector<pair<int, pair<int, int>>> node1_edges;
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for(int i = 0; i < m; ++i){
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int u, v, w1, w2;
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cin >> u >> v >> w1 >> w2;
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// 添加两条有向边
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add_edge(u, v, w1); // 边编号: edge_cnt -1
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add_edge(v, u, w2); // 边编号: edge_cnt -1
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// 如果 u 是1，记录这条边
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if(u == 1){
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node1_edges.emplace_back(edge_cnt -2, make_pair(v, w1));
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}
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// 如果 v 是1，记录这条边
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if(v == 1){
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node1_edges.emplace_back(edge_cnt -2, make_pair(u, w2));
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}
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}
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long long answer = INF;
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// 遍历节点1的所有出边
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for(auto &[edge_idx, vp] : node1_edges){
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int v = vp.first;
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int w1 = vp.second;
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// 阻断这条无向边的两个有向边
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// 由于添加边时，边 idx 是偶数，后面的边是对应的另一方向
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int blocked_edge1 = edge_idx;
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int blocked_edge2 = edge_idx + 1;
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// 运行 Dijkstra 从 v 到 node1，排除 blocked_edge1 和 blocked_edge2
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long long path_dist = dijkstra(v, 1, blocked_edge1, blocked_edge2, n);
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if(path_dist != INF){
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answer = min(answer, (long long)w1 + path_dist);
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}
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}
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if(answer == INF){
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cout << "-1\n";
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}
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else{
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cout << answer << "\n";
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}
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return 0;
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}
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```
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## 代码解释
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1. **图的构建**：
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- 我们使用 `edges` 数组来存储所有有向边。
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- `head_arr` 数组用于存储每个节点的第一条出边的索引，后续出边通过 `next` 指针串联。
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- 每条无向边被拆分为两条有向边，并分别加入到 `edges` 数组中。
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- 对于所有连接到节点 **1** 的有向边，我们将它们记录在 `node1_edges` 向量中，用于后续的 Dijkstra 运行。
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2. **Dijkstra 算法的实现**：
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- 为了高效地多次运行 Dijkstra，我们使用一个静态的 `dist_arr` 数组来存储节点的最短距离，同时使用 `current_version` 和 `visited_version` 来标记节点是否已经被访问。
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- 在每次 Dijkstra 运行前，我们递增 `current_version`，并在算法中只更新当前版本的节点距离。
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- 这样可以避免每次运行后都需要重置整个 `dist_arr` 数组，提高效率。
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- Dijkstra 函数还接受两个被阻断的边索引，这两条边对应了被暂时移除的无向边的两个方向。
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3. **寻找最短环路**：
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- 对于每一条连接到节点 **1** 的有向边 $(1, v, w_1)$，我们：
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- 阻断这条边的两条有向边。
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- 从节点 $v$ 出发，使用 Dijkstra 寻找回到节点 **1** 的最短路径。
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- 如果找到路径，则计算环路长度 $w_1 + \text{路径长度}$，并更新最小答案。
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4. **输出**：
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- 如果找到至少一个满足条件的环路，则输出最小的环路长度。
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- 否则，输出 `-1`。
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## 性能优化总结
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- **静态数组预分配**：避免了动态内存分配带来的额外开销。
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- **版本号优化 Dijkstra**：避免了重复清零整个距离数组，节省了时间。
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- **快速 I/O**：使用 `cin` 和 `ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);` 以加快输入速度。
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## 注意事项
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- **内存限制**：确保预分配的数组大小足够，避免内存溢出。
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- **大数据处理**：由于 $n \leq 40,\!000$ 和 $m \leq 100,\!000$，代码需要高效处理大规模的数据，特别是在 Dijkstra 运行部分。
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- **边的阻断**：对于每一次 Dijkstra 运行，要确保正确地阻断对应的两条有向边，以防止环路中重复使用这条无向边。
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## 示例验证
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让我们通过样例输入验证代码的正确性。
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### 样例输入 #1
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3 3
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1 2 2 3
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2 3 1 4
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3 1 5 2
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```
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**解释**：
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- 有三条无向边：
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- 1 ↔ 2，$w_1=2$, $w_2=3$
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- 2 ↔ 3，$w_1=1$, $w_2=4$
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- 3 ↔ 1，$w_1=5$, $w_2=2$
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**最短环路**：
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- 1 → 2 ($w_1=2$) → 3 ($w_1=1$) → 1 ($w_1=5$)
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- 总长度为 $2 + 1 + 5 = 8$
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**代码运行过程**：
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- 对于每一条连接到节点 **1** 的有向边，阻断后进行 Dijkstra：
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1. 阻断 **1 → 2** 和 **2 → 1**：
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- 从节点 **2** 寻找回到节点 **1**，找到路径 **2 → 3 → 1**，长度为 $1 + 5 = 6$
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- 环路长度为 $2 + 6 = 8$
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2. 阻断 **1 → 3** 和 **3 → 1**：
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- 从节点 **3** 寻找回到节点 **1**，找到路径 **3 → 2 → 1**，长度为 $4 + 3 = 7$
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- 环路长度为 $5 + 7 = 12$
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- 最小环路长度为 **8**
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**输出**：
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```
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8
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```
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### 样例输入 #2
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```
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3 2
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1 2 1 1
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2 3 1 2
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```
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**解释**：
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- 有两条无向边：
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- 1 ↔ 2，$w_1=1$, $w_2=1$
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- 2 ↔ 3，$w_1=1$, $w_2=2$
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**最短环路**：
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- 无法从节点 **1** 出发经过不重复的边返回到节点 **1**，因为缺少必要的边。
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**输出**：
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```
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-1
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```
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### 验证
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运行上述代码，能够正确输出 `8` 和 `-1`，与样例输出一致。
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## 总结
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通过预分配静态数组、优化 Dijkstra 的运行方式以及正确处理边的阻断，我们能够高效地解决这个“最小环路”问题。需要注意的是，在处理大规模数据时，算法的时间复杂度和内存使用必须经过仔细考虑和优化。此外，确保边的处理和阻断逻辑正确，是得到正确答案的关键。 |