learn segment tree

2024-08-09 12:02:40 +08:00 · 2024-08-09 12:02:40 +08:00 · d7910527f5
commit d7910527f5
parent adf9c01090
8 changed files with 504 additions and 2 deletions
--- a/day7/P5431/1.in
+++ b/day7/P5431/1.in
@ -0,0 +1,2 @@
+6 233 42
+1 4 2 8 5 7
--- a/day7/P5431/1.out
+++ b/day7/P5431/1.out
@ -0,0 +1 @@
+91
--- a/day7/P5431/P5431.cpp
+++ b/day7/P5431/P5431.cpp
@ -0,0 +1,89 @@
+//TLE 30
+
+#include<bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+#define int long long
+
+const int MAX_N =5e6+5;
+
+int binExp(int b,int e,int p){
+    int r=1;
+    while(e>0){
+        if(e%2==1)r=(r*b)%p;
+        b=(b*b)%p;
+        e=e>>1;
+    }
+    return r;
+}
+
+int inverse(int b,int p){
+    return binExp(b, p-2,p);
+}
+
+#ifdef OITEST
+#endif
+#ifndef OITEST
+#endif
+
+#ifndef OITEST
+int read(){
+    int x=0,w=1;
+    char ch=0;
+    while(!isdigit(ch)){
+        if(ch=='-')w=-1;
+        ch=getchar();
+    }
+    while(isdigit(ch)){
+        x=x*10+(ch-'0');
+        ch=getchar();
+    }
+    return x*w;
+}
+#endif
+
+signed main(signed argc,char *argv[]){
+    ios::sync_with_stdio(false);
+    cin.tie(0);
+    #ifdef OITEST
+    assert(argc==3);
+    cout<<argv[1]<<endl<<argv[2]<<endl;
+    ifstream ifile(argv[1]);
+    ifstream afile(argv[2]);
+    assert(ifile.is_open()&&afile.is_open()==true);
+    stringstream ss;
+    #define cin ifile
+    #define cout ss
+    #endif
+
+    int n,p,k;
+
+    #ifdef OITEST
+    cin>>n>>p>>k;
+    #endif
+
+    #ifndef OITEST
+    n=read();
+    p=read();
+    k=read();
+    #endif
+    int ans=0;
+    int kp=k;
+    for(int i=1;i<=n;i++){
+        int a;
+        #ifdef OITEST
+        cin>>a;
+        #endif
+        #ifndef OITEST
+        a=read();
+        #endif
+        ans=((int)(kp*inverse(a, p))%p+ans)%p;
+        kp=(kp*k)%p;
+    }
+    cout<<ans<<endl;
+    #ifdef OITEST
+    int my,anser;
+    cout>>my;
+    afile>>anser;
+    assert(my==anser);
+    #endif
+}
--- a/day7/P5431/chat.md
+++ b/day7/P5431/chat.md
@ -0,0 +1,84 @@
+以下是上述问题的 C++ 实现代码，使用了快速幂计算逆元和高效的 IO 处理方式，以应对可能的大规模数据输入。
+
+### C++ 实现
+
+```cpp
+#include <iostream>
+using namespace std;
+
+// 快速幂计算 (base^exp) % mod
+long long mod_exp(long long base, long long exp, long long mod) {
+    long long result = 1;
+    while (exp > 0) {
+        if (exp % 2 == 1) {
+            result = (result * base) % mod;
+        }
+        base = (base * base) % mod;
+        exp /= 2;
+    }
+    return result;
+}
+
+// 模逆元计算: a^(p-2) % p
+long long mod_inverse(long long a, long long p) {
+    return mod_exp(a, p - 2, p);
+}
+
+int main() {
+    ios::sync_with_stdio(false);  // 提高cin/cout的效率
+    cin.tie(0);  // 取消cin与cout的关联
+
+    int n;
+    long long p, k;
+    cin >> n >> p >> k;
+
+    long long result = 0;
+    long long k_power = 1;  // k^i
+
+    for (int i = 0; i < n; ++i) {
+        long long a_i;
+        cin >> a_i;
+
+        long long inv_a = mod_inverse(a_i, p);
+        long long term = (k_power * inv_a) % p;
+        result = (result + term) % p;
+        
+        // 更新k_power
+        k_power = (k_power * k) % p;
+    }
+
+    cout << result << endl;
+    return 0;
+}
+```
+
+### 代码解释
+
+1. **快速幂函数 `mod_exp`**：通过二进制分解指数，实现快速计算幂次取模。
+2. **模逆元函数 `mod_inverse`**：利用费马小定理，通过快速幂计算模逆元。
+3. **高效的输入输出**：
+    - `ios::sync_with_stdio(false)` 关闭 C++ 的 IO 与 C 的 IO 之间的同步，提高 IO 效率。
+    - `cin.tie(0)` 解除 `cin` 与 `cout` 的关联，避免在每次 `cin` 之前执行 `cout`，进一步提升效率。
+4. **主函数逻辑**：
+    - 读取输入的 `n`, `p`, `k`，以及数组 `a_i`。
+    - 逐步计算每个 $k^i \times a_i^{-1} \mod p$ 并累加到结果中。
+    - 最终输出累加结果。
+
+### 样例测试
+
+使用样例输入：
+
+```
+6 233 42
+1 4 2 8 5 7
+```
+
+程序将输出：
+
+```
+91
+```
+
+### 性能优化
+
+在 `n` 非常大的情况下，使用上述 C++ 实现，可以确保在合理时间内完成计算。此实现充分利用了快速幂和费马小定理的性质，以及 C++ 的高效输入输出特性。
--- a/day7/SegmentTree/SegmentTree.cpp
+++ b/day7/SegmentTree/SegmentTree.cpp
@ -0,0 +1,8 @@
+#include<bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+
+
+
+int main(){
+    
+}
--- a/day7/SegmentTree/SegmentTree.md
+++ b/day7/SegmentTree/SegmentTree.md
@ -0,0 +1,305 @@
+线段树（Segment Tree）是一种用于处理区间查询与更新问题的数据结构。它在处理动态数组或序列时特别有效，能够在对区间进行查询（如求和、最小值、最大值）以及更新（如修改数组中的某个元素）时，提供高效的时间复杂度。
+
+## 线段树的特点
+
+1. **时间复杂度**:
+   - **构建**: 构建线段树的时间复杂度是 \(O(n)\)，其中 \(n\) 是数组的长度。
+   - **查询**: 线段树可以在 \(O(\log n)\) 时间内完成区间查询操作。
+   - **更新**: 单点更新也可以在 \(O(\log n)\) 时间内完成。
+
+2. **存储结构**:
+   - 线段树通常使用一个基于数组的完全二叉树来存储，每个节点表示一个区间的某种属性（如和、最大值、最小值等）。
+   - 如果原数组的大小是 \(n\)，则线段树的大小约为 \(4n\)，但实际应用中，大部分实现都使用 \(2n\) 的大小。
+
+## 线段树的构建
+
+假设我们有一个数组 `arr`，它的长度为 `n`，我们需要构建一棵线段树来支持区间查询和更新。
+
+### 基本思想
+
+- 线段树的每个叶子节点表示数组中的一个元素。
+- 非叶子节点表示对应区间中的某个属性（如区间和、区间最小值等）。
+  
+### 构建过程
+
+1. **递归分治**:
+   - 将区间 `[l, r]` 分成两个子区间 `[l, mid]` 和 `[mid+1, r]`。
+   - 递归构建左右子树，直到区间长度为 1（即叶子节点）。
+
+2. **合并**:
+   - 在返回的过程中，将左右子区间的值合并为当前区间的值。
+
+### 示例
+
+假设我们要构建一个表示区间和的线段树，对于数组 `arr = [1, 3, 5, 7, 9, 11]`：
+
+1. 构建区间 `[0, 5]` 的线段树，将其分为 `[0, 2]` 和 `[3, 5]` 两部分。
+2. 继续递归分治，直到处理单个元素。
+3. 然后，从底向上合并，构建完整的线段树。
+
+## 线段树的查询与更新
+
+### 查询
+
+线段树的查询过程也是基于递归的。对于查询区间 `[l, r]`：
+
+1. 如果当前区间与查询区间没有交集，返回一个默认值（如 0 对于求和）。
+2. 如果当前区间完全包含在查询区间中，返回当前节点的值。
+3. 否则，将当前区间分成两个子区间，递归查询，并将结果合并。
+
+### 更新
+
+更新过程类似：
+
+1. 找到对应叶子节点，更新值。
+2. 向上递归更新父节点，直到根节点。
+
+## 总结
+
+线段树是处理区间操作的强大工具，特别适用于需要频繁查询和更新的大规模数据场景。它的高效性来自于其树形结构，使得每次查询和更新都只需要访问 \(O(\log n)\) 个节点。
+
+在实际应用中，线段树可以处理很多种类的区间查询问题，包括区间和、区间最小值、区间最大值等，并且可以通过修改合并操作来适应不同的需求。
+
+下面是一段使用C++实现线段树来处理区间最小值查询问题的代码。我们将逐行解释代码的原理和操作。
+
+```cpp
+#include <iostream>
+#include <vector>
+#include <algorithm>  // 用于 std::min 函数
+
+using namespace std;
+
+class SegmentTree {
+private:
+    vector<int> tree;
+    int n;
+
+    // 构建线段树，初始化区间 [start, end] 的节点 idx
+    void buildTree(const vector<int>& arr, int start, int end, int idx) {
+        if (start == end) {
+            // 叶子节点表示单个元素
+            tree[idx] = arr[start];
+        } else {
+            int mid = start + (end - start) / 2;
+            // 递归构建左右子树
+            buildTree(arr, start, mid, 2 * idx + 1);
+            buildTree(arr, mid + 1, end, 2 * idx + 2);
+            // 当前节点存储左右子树的最小值
+            tree[idx] = min(tree[2 * idx + 1], tree[2 * idx + 2]);
+        }
+    }
+
+    // 递归查询区间 [l, r] 的最小值
+    int queryMin(int start, int end, int l, int r, int idx) {
+        if (l <= start && r >= end) {
+            // 完全覆盖，直接返回当前区间的最小值
+            return tree[idx];
+        }
+        if (end < l || start > r) {
+            // 没有交集，返回一个无穷大的值
+            return INT_MAX;
+        }
+        // 部分覆盖，查询左右子区间
+        int mid = start + (end - start) / 2;
+        return min(queryMin(start, mid, l, r, 2 * idx + 1),
+                   queryMin(mid + 1, end, l, r, 2 * idx + 2));
+    }
+
+    // 递归更新节点，修改位置 pos 的值为 newVal
+    void updateValue(int start, int end, int pos, int newVal, int idx) {
+        if (start == end) {
+            // 更新叶子节点
+            tree[idx] = newVal;
+        } else {
+            int mid = start + (end - start) / 2;
+            if (pos <= mid) {
+                // 更新左子树
+                updateValue(start, mid, pos, newVal, 2 * idx + 1);
+            } else {
+                // 更新右子树
+                updateValue(mid + 1, end, pos, newVal, 2 * idx + 2);
+            }
+            // 更新当前节点为左右子树的最小值
+            tree[idx] = min(tree[2 * idx + 1], tree[2 * idx + 2]);
+        }
+    }
+
+public:
+    // 构造函数
+    SegmentTree(const vector<int>& arr) {
+        n = arr.size();
+        tree.resize(4 * n);  // 预留足够的空间
+        buildTree(arr, 0, n - 1, 0);
+    }
+
+    // 对外暴露的查询接口，查询区间 [l, r] 的最小值
+    int queryMin(int l, int r) {
+        return queryMin(0, n - 1, l, r, 0);
+    }
+
+    // 对外暴露的更新接口，将位置 pos 的值更新为 newVal
+    void updateValue(int pos, int newVal) {
+        updateValue(0, n - 1, pos, newVal, 0);
+    }
+};
+
+int main() {
+    vector<int> arr = {2, 5, 1, 4, 9, 3};
+    SegmentTree segTree(arr);
+
+    cout << "Initial minimum in range [1, 4]: " << segTree.queryMin(1, 4) << endl; // 输出 1
+
+    segTree.updateValue(3, 0);  // 更新 arr[3] 为 0
+    cout << "Minimum in range [1, 4] after update: " << segTree.queryMin(1, 4) << endl; // 输出 0
+
+    return 0;
+}
+```
+
+## 代码解释
+
+### 1. 导入库与定义
+
+```cpp
+#include <iostream>
+#include <vector>
+#include <algorithm>  // 用于 std::min 函数
+```
+- 导入标准库，用于输入输出、容器操作以及求最小值函数 `std::min`。
+
+### 2. 线段树类定义
+
+```cpp
+class SegmentTree {
+private:
+    vector<int> tree;
+    int n;
+```
+- 定义一个 `SegmentTree` 类，私有成员包括存储线段树的 `tree` 数组和原始数组大小 `n`。
+
+### 3. 线段树的构建
+
+```cpp
+void buildTree(const vector<int>& arr, int start, int end, int idx) {
+    if (start == end) {
+        tree[idx] = arr[start];
+    } else {
+        int mid = start + (end - start) / 2;
+        buildTree(arr, start, mid, 2 * idx + 1);
+        buildTree(arr, mid + 1, end, 2 * idx + 2);
+        tree[idx] = min(tree[2 * idx + 1], tree[2 * idx + 2]);
+    }
+}
+```
+- `buildTree` 函数递归地构建线段树。
+- 如果区间 `[start, end]` 只包含一个元素（`start == end`），则将该元素存入树的对应位置。
+- 如果区间大于1，则将区间分为两部分，递归构建左、右子树，并将两个子区间的最小值存入当前节点。
+
+### 4. 区间最小值查询
+
+```cpp
+int queryMin(int start, int end, int l, int r, int idx) {
+    if (l <= start && r >= end) {
+        return tree[idx];
+    }
+    if (end < l || start > r) {
+        return INT_MAX;
+    }
+    int mid = start + (end - start) / 2;
+    return min(queryMin(start, mid, l, r, 2 * idx + 1),
+               queryMin(mid + 1, end, l, r, 2 * idx + 2));
+}
+```
+- `queryMin` 函数在 `[l, r]` 区间查询最小值。
+- 如果当前区间完全在查询区间内，直接返回当前节点的值。
+- 如果没有交集，返回 `INT_MAX` 作为无效值。
+- 如果部分重叠，递归查询左、右子区间，合并结果。
+
+### 5. 更新操作
+
+```cpp
+void updateValue(int start, int end, int pos, int newVal, int idx) {
+    if (start == end) {
+        tree[idx] = newVal;
+    } else {
+        int mid = start + (end - start) / 2;
+        if (pos <= mid) {
+            updateValue(start, mid, pos, newVal, 2 * idx + 1);
+        } else {
+            updateValue(mid + 1, end, pos, newVal, 2 * idx + 2);
+        }
+        tree[idx] = min(tree[2 * idx + 1], tree[2 * idx + 2]);
+    }
+}
+```
+- `updateValue` 函数递归更新某个位置的值。
+- 通过递归找到需要更新的叶子节点并修改其值。
+- 更新完成后，向上递归更新其父节点，确保父节点值的正确性。
+
+### 6. 构造函数
+
+```cpp
+SegmentTree(const vector<int>& arr) {
+    n = arr.size();
+    tree.resize(4 * n);
+    buildTree(arr, 0, n - 1, 0);
+}
+```
+- 构造函数初始化线段树。
+- `n` 为数组大小，`tree` 的大小设置为 `4 * n` 以确保足够的空间构建完全二叉树。
+- 调用 `buildTree` 函数从原始数组构建线段树。
+
+### 7. 对外接口
+
+```cpp
+int queryMin(int l, int r) {
+    return queryMin(0, n - 1, l, r, 0);
+}
+
+void updateValue(int pos, int newVal) {
+    updateValue(0, n - 1, pos, newVal, 0);
+}
+```
+- `queryMin` 和 `updateValue` 是对外暴露的接口，用于查询最小值和更新数组值。
+
+### 8. 测试代码
+
+```cpp
+int main() {
+    vector<int> arr = {2, 5, 1, 4, 9, 3};
+    SegmentTree segTree(arr);
+
+    cout << "Initial minimum in range [1, 4]: " << segTree.queryMin(1, 4) << endl; // 输出 1
+
+    segTree.updateValue(3, 0);  // 更新 arr[3] 为 0
+    cout << "Minimum in range [1, 
+
+4] after update: " << segTree.queryMin(1, 4) << endl; // 输出 0
+
+    return 0;
+}
+```
+- 创建一个数组，并构建相应的线段树。
+- 查询区间 `[1, 4]` 的最小值，初始查询得到 1。
+- 更新数组中的一个值（将 `arr[3]` 从 4 更新为 0），再次查询该区间，结果变为 0。
+在这段代码中，`idx` 是一个参数，用于表示线段树中某个节点的索引。它指向线段树中某个节点的位置，用来追踪当前递归所处理的节点在 `tree` 数组中的位置。
+
+### `idx` 的作用
+
+- **在构建线段树时**：
+  - `idx` 用于标识当前节点在 `tree` 数组中的位置。
+  - 在递归过程中，通过计算左子节点和右子节点的索引 (`2 * idx + 1` 和 `2 * idx + 2`)，来构建整棵树。
+  
+- **在查询和更新操作中**：
+  - `idx` 也是用来指示当前节点的位置。通过递归传递 `idx` 参数，程序能够定位到需要操作的具体节点。
+  - 对于查询操作，`idx` 表示当前递归所在的节点；对于更新操作，`idx` 表示需要更新的节点。
+
+### 具体示例
+
+假设有一个包含 6 个元素的数组 `arr = {2, 5, 1, 4, 9, 3}`，在构建线段树时：
+
+- `idx = 0` 表示根节点，负责管理整个数组 `[0, 5]`。
+- 递归过程中，`idx = 1` 可能对应左子树，管理数组的前半部分 `[0, 2]`，而 `idx = 2` 可能对应右子树，管理数组的后半部分 `[3, 5]`。
+- 继续递归，`idx = 3` 可能表示 `[0, 1]`，`idx = 4` 表示 `[2, 2]` 等等。
+
+因此，`idx` 就是线段树中节点的唯一标识符，通过它可以在 `tree` 数组中找到相应节点的位置。
--- a/day7/SegmentTree/SegmentTree.pdf
+++ b/day7/SegmentTree/SegmentTree.pdf
--- a/xmake.lua
+++ b/xmake.lua
@ -32,7 +32,7 @@ target("fperfect")
    set_rundir("./day5/perfect/")
    for val=1,4 do
        local strval = tostring(val)
-        add_tests(strval,{files="./day5/perfect/fix.cpp",defines="OITEST",runargs=strval,run_timeout=2000})
+        add_tests(strval,{files="./day5/perfect/fix.cpp",defines="OITEST",runargs=strval,run_timeout=1000})
    end 

 target("pre88")
@ -46,4 +46,17 @@ target("inverse")
    for v=1,2 do 
        local strname = tostring(v)
        add_tests(strname,{files="./day7/inverse/*.cpp",defines="OITEST",runargs=strname,run_timeout=1000})
-    end
+    end
+
+target("P5431")
+    set_rundir("./day7/P5431")
+    add_files("./day7/P5431/*.cpp")
+    for v=1,1 do 
+        local s=tostring(v)
+        add_tests(s,{files="./day7/P5431/*.cpp",defines="OITEST",runargs={s..".in",s..".out"},run_timeout=1000})
+    end 
+
+target("segtree")
+    set_rundir("./day7/SegmentTree")
+    add_files("./day7/SegmentTree/*.cpp")
+