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线段树（Segment Tree）是一种用于处理区间查询与更新问题的数据结构。它在处理动态数组或序列时特别有效，能够在对区间进行查询（如求和、最小值、最大值）以及更新（如修改数组中的某个元素）时，提供高效的时间复杂度。
线段树的特点
-
时间复杂度:
- 构建: 构建线段树的时间复杂度是 (O(n))，其中
n是数组的长度。 - 查询: 线段树可以在
O(\log n)时间内完成区间查询操作。 - 更新: 单点更新也可以在
O(\log n)时间内完成。
- 构建: 构建线段树的时间复杂度是 (O(n))，其中
-
存储结构:
- 线段树通常使用一个基于数组的完全二叉树来存储，每个节点表示一个区间的某种属性（如和、最大值、最小值等）。
- 如果原数组的大小是 (n)，则线段树的大小约为 (4n)，但实际应用中，大部分实现都使用
2n的大小。
线段树的构建
假设我们有一个数组 arr，它的长度为 n，我们需要构建一棵线段树来支持区间查询和更新。
基本思想
- 线段树的每个叶子节点表示数组中的一个元素。
- 非叶子节点表示对应区间中的某个属性（如区间和、区间最小值等）。
构建过程
-
递归分治:
- 将区间
[l, r]分成两个子区间[l, mid]和[mid+1, r]。 - 递归构建左右子树，直到区间长度为 1（即叶子节点）。
- 将区间
-
合并:
- 在返回的过程中，将左右子区间的值合并为当前区间的值。
示例
假设我们要构建一个表示区间和的线段树，对于数组 arr = [1, 3, 5, 7, 9, 11]：
- 构建区间
[0, 5]的线段树，将其分为[0, 2]和[3, 5]两部分。 - 继续递归分治，直到处理单个元素。
- 然后，从底向上合并，构建完整的线段树。
线段树的查询与更新
查询
线段树的查询过程也是基于递归的。对于查询区间 [l, r]：
- 如果当前区间与查询区间没有交集，返回一个默认值（如 0 对于求和）。
- 如果当前区间完全包含在查询区间中，返回当前节点的值。
- 否则，将当前区间分成两个子区间，递归查询，并将结果合并。
更新
更新过程类似：
- 找到对应叶子节点，更新值。
- 向上递归更新父节点，直到根节点。
总结
线段树是处理区间操作的强大工具，特别适用于需要频繁查询和更新的大规模数据场景。它的高效性来自于其树形结构，使得每次查询和更新都只需要访问 O(\log n) 个节点。
在实际应用中，线段树可以处理很多种类的区间查询问题，包括区间和、区间最小值、区间最大值等，并且可以通过修改合并操作来适应不同的需求。
下面是一段使用C++实现线段树来处理区间最小值查询问题的代码。我们将逐行解释代码的原理和操作。
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm> // 用于 std::min 函数
using namespace std;
class SegmentTree {
private:
vector<int> tree;
int n;
// 构建线段树，初始化区间 [start, end] 的节点 idx
void buildTree(const vector<int>& arr, int start, int end, int idx) {
if (start == end) {
// 叶子节点表示单个元素
tree[idx] = arr[start];
} else {
int mid = start + (end - start) / 2;
// 递归构建左右子树
buildTree(arr, start, mid, 2 * idx + 1);
buildTree(arr, mid + 1, end, 2 * idx + 2);
// 当前节点存储左右子树的最小值
tree[idx] = min(tree[2 * idx + 1], tree[2 * idx + 2]);
}
}
// 递归查询区间 [l, r] 的最小值
int queryMin(int start, int end, int l, int r, int idx) {
if (l <= start && r >= end) {
// 完全覆盖，直接返回当前区间的最小值
return tree[idx];
}
if (end < l || start > r) {
// 没有交集，返回一个无穷大的值
return INT_MAX;
}
// 部分覆盖，查询左右子区间
int mid = start + (end - start) / 2;
return min(queryMin(start, mid, l, r, 2 * idx + 1),
queryMin(mid + 1, end, l, r, 2 * idx + 2));
}
// 递归更新节点，修改位置 pos 的值为 newVal
void updateValue(int start, int end, int pos, int newVal, int idx) {
if (start == end) {
// 更新叶子节点
tree[idx] = newVal;
} else {
int mid = start + (end - start) / 2;
if (pos <= mid) {
// 更新左子树
updateValue(start, mid, pos, newVal, 2 * idx + 1);
} else {
// 更新右子树
updateValue(mid + 1, end, pos, newVal, 2 * idx + 2);
}
// 更新当前节点为左右子树的最小值
tree[idx] = min(tree[2 * idx + 1], tree[2 * idx + 2]);
}
}
public:
// 构造函数
SegmentTree(const vector<int>& arr) {
n = arr.size();
tree.resize(4 * n); // 预留足够的空间
buildTree(arr, 0, n - 1, 0);
}
// 对外暴露的查询接口，查询区间 [l, r] 的最小值
int queryMin(int l, int r) {
return queryMin(0, n - 1, l, r, 0);
}
// 对外暴露的更新接口，将位置 pos 的值更新为 newVal
void updateValue(int pos, int newVal) {
updateValue(0, n - 1, pos, newVal, 0);
}
};
int main() {
vector<int> arr = {2, 5, 1, 4, 9, 3};
SegmentTree segTree(arr);
cout << "Initial minimum in range [1, 4]: " << segTree.queryMin(1, 4) << endl; // 输出 1
segTree.updateValue(3, 0); // 更新 arr[3] 为 0
cout << "Minimum in range [1, 4] after update: " << segTree.queryMin(1, 4) << endl; // 输出 0
return 0;
}
代码解释
1. 导入库与定义
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm> // 用于 std::min 函数
- 导入标准库，用于输入输出、容器操作以及求最小值函数
std::min。
2. 线段树类定义
class SegmentTree {
private:
vector<int> tree;
int n;
- 定义一个
SegmentTree类，私有成员包括存储线段树的tree数组和原始数组大小n。
3. 线段树的构建
void buildTree(const vector<int>& arr, int start, int end, int idx) {
if (start == end) {
tree[idx] = arr[start];
} else {
int mid = start + (end - start) / 2;
buildTree(arr, start, mid, 2 * idx + 1);
buildTree(arr, mid + 1, end, 2 * idx + 2);
tree[idx] = min(tree[2 * idx + 1], tree[2 * idx + 2]);
}
}
buildTree函数递归地构建线段树。- 如果区间
[start, end]只包含一个元素（start == end），则将该元素存入树的对应位置。 - 如果区间大于1，则将区间分为两部分，递归构建左、右子树，并将两个子区间的最小值存入当前节点。
4. 区间最小值查询
int queryMin(int start, int end, int l, int r, int idx) {
if (l <= start && r >= end) {
return tree[idx];
}
if (end < l || start > r) {
return INT_MAX;
}
int mid = start + (end - start) / 2;
return min(queryMin(start, mid, l, r, 2 * idx + 1),
queryMin(mid + 1, end, l, r, 2 * idx + 2));
}
queryMin函数在[l, r]区间查询最小值。- 如果当前区间完全在查询区间内，直接返回当前节点的值。
- 如果没有交集，返回
INT_MAX作为无效值。 - 如果部分重叠，递归查询左、右子区间，合并结果。
5. 更新操作
void updateValue(int start, int end, int pos, int newVal, int idx) {
if (start == end) {
tree[idx] = newVal;
} else {
int mid = start + (end - start) / 2;
if (pos <= mid) {
updateValue(start, mid, pos, newVal, 2 * idx + 1);
} else {
updateValue(mid + 1, end, pos, newVal, 2 * idx + 2);
}
tree[idx] = min(tree[2 * idx + 1], tree[2 * idx + 2]);
}
}
updateValue函数递归更新某个位置的值。- 通过递归找到需要更新的叶子节点并修改其值。
- 更新完成后，向上递归更新其父节点，确保父节点值的正确性。
6. 构造函数
SegmentTree(const vector<int>& arr) {
n = arr.size();
tree.resize(4 * n);
buildTree(arr, 0, n - 1, 0);
}
- 构造函数初始化线段树。
n为数组大小，tree的大小设置为4 * n以确保足够的空间构建完全二叉树。- 调用
buildTree函数从原始数组构建线段树。
7. 对外接口
int queryMin(int l, int r) {
return queryMin(0, n - 1, l, r, 0);
}
void updateValue(int pos, int newVal) {
updateValue(0, n - 1, pos, newVal, 0);
}
queryMin和updateValue是对外暴露的接口，用于查询最小值和更新数组值。
8. 测试代码
int main() {
vector<int> arr = {2, 5, 1, 4, 9, 3};
SegmentTree segTree(arr);
cout << "Initial minimum in range [1, 4]: " << segTree.queryMin(1, 4) << endl; // 输出 1
segTree.updateValue(3, 0); // 更新 arr[3] 为 0
cout << "Minimum in range [1,
4] after update: " << segTree.queryMin(1, 4) << endl; // 输出 0
return 0;
}
- 创建一个数组，并构建相应的线段树。
- 查询区间
[1, 4]的最小值，初始查询得到 1。 - 更新数组中的一个值（将
arr[3]从 4 更新为 0），再次查询该区间，结果变为 0。 在这段代码中，idx是一个参数，用于表示线段树中某个节点的索引。它指向线段树中某个节点的位置，用来追踪当前递归所处理的节点在tree数组中的位置。
idx 的作用
-
在构建线段树时：
idx用于标识当前节点在tree数组中的位置。- 在递归过程中，通过计算左子节点和右子节点的索引 (
2 * idx + 1和2 * idx + 2)，来构建整棵树。
-
在查询和更新操作中：
idx也是用来指示当前节点的位置。通过递归传递idx参数，程序能够定位到需要操作的具体节点。- 对于查询操作，
idx表示当前递归所在的节点；对于更新操作，idx表示需要更新的节点。
具体示例
假设有一个包含 6 个元素的数组 arr = {2, 5, 1, 4, 9, 3}，在构建线段树时：
idx = 0表示根节点，负责管理整个数组[0, 5]。- 递归过程中，
idx = 1可能对应左子树，管理数组的前半部分[0, 2]，而idx = 2可能对应右子树，管理数组的后半部分[3, 5]。 - 继续递归，
idx = 3可能表示[0, 1]，idx = 4表示[2, 2]等等。
因此，idx 就是线段树中节点的唯一标识符，通过它可以在 tree 数组中找到相应节点的位置。