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线段树（Segment Tree）是一种用于处理区间查询与更新问题的数据结构。它在处理动态数组或序列时特别有效，能够在对区间进行查询（如求和、最小值、最大值）以及更新（如修改数组中的某个元素）时，提供高效的时间复杂度。
线段树的特点
-
时间复杂度:
- 构建: 构建线段树的时间复杂度是 (O(n))，其中
n是数组的长度。 - 查询: 线段树可以在
O(\log n)时间内完成区间查询操作。 - 更新: 单点更新也可以在
O(\log n)时间内完成。
- 构建: 构建线段树的时间复杂度是 (O(n))，其中
-
存储结构:
- 线段树通常使用一个基于数组的完全二叉树来存储，每个节点表示一个区间的某种属性（如和、最大值、最小值等）。
- 如果原数组的大小是 (n)，则线段树的大小约为 (4n)，但实际应用中，大部分实现都使用
2n的大小。
线段树的构建
假设我们有一个数组 arr，它的长度为 n，我们需要构建一棵线段树来支持区间查询和更新。
基本思想
- 线段树的每个叶子节点表示数组中的一个元素。
- 非叶子节点表示对应区间中的某个属性（如区间和、区间最小值等）。
构建过程
-
递归分治:
- 将区间
[l, r]分成两个子区间[l, mid]和[mid+1, r]。 - 递归构建左右子树，直到区间长度为 1（即叶子节点）。
- 将区间
-
合并:
- 在返回的过程中，将左右子区间的值合并为当前区间的值。
示例
假设我们要构建一个表示区间和的线段树，对于数组 arr = [1, 3, 5, 7, 9, 11]：
- 构建区间
[0, 5]的线段树，将其分为[0, 2]和[3, 5]两部分。 - 继续递归分治，直到处理单个元素。
- 然后，从底向上合并，构建完整的线段树。
线段树的查询与更新
查询
线段树的查询过程也是基于递归的。对于查询区间 [l, r]：
- 如果当前区间与查询区间没有交集，返回一个默认值（如 0 对于求和）。
- 如果当前区间完全包含在查询区间中，返回当前节点的值。
- 否则，将当前区间分成两个子区间，递归查询，并将结果合并。
更新
更新过程类似：
- 找到对应叶子节点，更新值。
- 向上递归更新父节点，直到根节点。
总结
线段树是处理区间操作的强大工具，特别适用于需要频繁查询和更新的大规模数据场景。它的高效性来自于其树形结构，使得每次查询和更新都只需要访问 O(\log n) 个节点。
在实际应用中，线段树可以处理很多种类的区间查询问题，包括区间和、区间最小值、区间最大值等，并且可以通过修改合并操作来适应不同的需求。
下面是一段使用C++实现线段树来处理区间最小值查询问题的代码。我们将逐行解释代码的原理和操作。
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm> // 用于 std::min 函数
using namespace std;
class SegmentTree {
private:
vector<int> tree;
int n;
// 构建线段树，初始化区间 [start, end] 的节点 idx
void buildTree(const vector<int>& arr, int start, int end, int idx) {
if (start == end) {
// 叶子节点表示单个元素
tree[idx] = arr[start];
} else {
int mid = start + (end - start) / 2;
// 递归构建左右子树
buildTree(arr, start, mid, 2 * idx + 1);
buildTree(arr, mid + 1, end, 2 * idx + 2);
// 当前节点存储左右子树的最小值
tree[idx] = min(tree[2 * idx + 1], tree[2 * idx + 2]);
}
}
// 递归查询区间 [l, r] 的最小值
int queryMin(int start, int end, int l, int r, int idx) {
if (l <= start && r >= end) {
// 完全覆盖，直接返回当前区间的最小值
return tree[idx];
}
if (end < l || start > r) {
// 没有交集，返回一个无穷大的值
return INT_MAX;
}
// 部分覆盖，查询左右子区间
int mid = start + (end - start) / 2;
return min(queryMin(start, mid, l, r, 2 * idx + 1),
queryMin(mid + 1, end, l, r, 2 * idx + 2));
}
// 递归更新节点，修改位置 pos 的值为 newVal
void updateValue(int start, int end, int pos, int newVal, int idx) {
if (start == end) {
// 更新叶子节点
tree[idx] = newVal;
} else {
int mid = start + (end - start) / 2;
if (pos <= mid) {
// 更新左子树
updateValue(start, mid, pos, newVal, 2 * idx + 1);
} else {
// 更新右子树
updateValue(mid + 1, end, pos, newVal, 2 * idx + 2);
}
// 更新当前节点为左右子树的最小值
tree[idx] = min(tree[2 * idx + 1], tree[2 * idx + 2]);
}
}
public:
// 构造函数
SegmentTree(const vector<int>& arr) {
n = arr.size();
tree.resize(4 * n); // 预留足够的空间
buildTree(arr, 0, n - 1, 0);
}
// 对外暴露的查询接口，查询区间 [l, r] 的最小值
int queryMin(int l, int r) {
return queryMin(0, n - 1, l, r, 0);
}
// 对外暴露的更新接口，将位置 pos 的值更新为 newVal
void updateValue(int pos, int newVal) {
updateValue(0, n - 1, pos, newVal, 0);
}
};
int main() {
vector<int> arr = {2, 5, 1, 4, 9, 3};
SegmentTree segTree(arr);
cout << "Initial minimum in range [1, 4]: " << segTree.queryMin(1, 4) << endl; // 输出 1
segTree.updateValue(3, 0); // 更新 arr[3] 为 0
cout << "Minimum in range [1, 4] after update: " << segTree.queryMin(1, 4) << endl; // 输出 0
return 0;
}
代码解释
1. 导入库与定义
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm> // 用于 std::min 函数
- 导入标准库，用于输入输出、容器操作以及求最小值函数
std::min。
2. 线段树类定义
class SegmentTree {
private:
vector<int> tree;
int n;
- 定义一个
SegmentTree类，私有成员包括存储线段树的tree数组和原始数组大小n。
3. 线段树的构建
void buildTree(const vector<int>& arr, int start, int end, int idx) {
if (start == end) {
tree[idx] = arr[start];
} else {
int mid = start + (end - start) / 2;
buildTree(arr, start, mid, 2 * idx + 1);
buildTree(arr, mid + 1, end, 2 * idx + 2);
tree[idx] = min(tree[2 * idx + 1], tree[2 * idx + 2]);
}
}
buildTree函数递归地构建线段树。- 如果区间
[start, end]只包含一个元素（start == end），则将该元素存入树的对应位置。 - 如果区间大于1，则将区间分为两部分，递归构建左、右子树，并将两个子区间的最小值存入当前节点。
4. 区间最小值查询
int queryMin(int start, int end, int l, int r, int idx) {
if (l <= start && r >= end) {
return tree[idx];
}
if (end < l || start > r) {
return INT_MAX;
}
int mid = start + (end - start) / 2;
return min(queryMin(start, mid, l, r, 2 * idx + 1),
queryMin(mid + 1, end, l, r, 2 * idx + 2));
}
queryMin函数在[l, r]区间查询最小值。- 如果当前区间完全在查询区间内，直接返回当前节点的值。
- 如果没有交集，返回
INT_MAX作为无效值。 - 如果部分重叠，递归查询左、右子区间，合并结果。
5. 更新操作
void updateValue(int start, int end, int pos, int newVal, int idx) {
if (start == end) {
tree[idx] = newVal;
} else {
int mid = start + (end - start) / 2;
if (pos <= mid) {
updateValue(start, mid, pos, newVal, 2 * idx + 1);
} else {
updateValue(mid + 1, end, pos, newVal, 2 * idx + 2);
}
tree[idx] = min(tree[2 * idx + 1], tree[2 * idx + 2]);
}
}
updateValue函数递归更新某个位置的值。- 通过递归找到需要更新的叶子节点并修改其值。
- 更新完成后，向上递归更新其父节点，确保父节点值的正确性。
6. 构造函数
SegmentTree(const vector<int>& arr) {
n = arr.size();
tree.resize(4 * n);
buildTree(arr, 0, n - 1, 0);
}
- 构造函数初始化线段树。
n为数组大小，tree的大小设置为4 * n以确保足够的空间构建完全二叉树。- 调用
buildTree函数从原始数组构建线段树。
7. 对外接口
int queryMin(int l, int r) {
return queryMin(0, n - 1, l, r, 0);
}
void updateValue(int pos, int newVal) {
updateValue(0, n - 1, pos, newVal, 0);
}
queryMin和updateValue是对外暴露的接口，用于查询最小值和更新数组值。
8. 测试代码
int main() {
vector<int> arr = {2, 5, 1, 4, 9, 3};
SegmentTree segTree(arr);
cout << "Initial minimum in range [1, 4]: " << segTree.queryMin(1, 4) << endl; // 输出 1
segTree.updateValue(3, 0); // 更新 arr[3] 为 0
cout << "Minimum in range [1,
4] after update: " << segTree.queryMin(1, 4) << endl; // 输出 0
return 0;
}
- 创建一个数组，并构建相应的线段树。
- 查询区间
[1, 4]的最小值，初始查询得到 1。 - 更新数组中的一个值（将
arr[3]从 4 更新为 0），再次查询该区间，结果变为 0。 在这段代码中，idx是一个参数，用于表示线段树中某个节点的索引。它指向线段树中某个节点的位置，用来追踪当前递归所处理的节点在tree数组中的位置。
idx 的作用
-
在构建线段树时：
idx用于标识当前节点在tree数组中的位置。- 在递归过程中，通过计算左子节点和右子节点的索引 (
2 * idx + 1和2 * idx + 2)，来构建整棵树。
-
在查询和更新操作中：
idx也是用来指示当前节点的位置。通过递归传递idx参数，程序能够定位到需要操作的具体节点。- 对于查询操作，
idx表示当前递归所在的节点；对于更新操作，idx表示需要更新的节点。
具体示例
假设有一个包含 6 个元素的数组 arr = {2, 5, 1, 4, 9, 3}，在构建线段树时：
idx = 0表示根节点，负责管理整个数组[0, 5]。- 递归过程中，
idx = 1可能对应左子树，管理数组的前半部分[0, 2]，而idx = 2可能对应右子树，管理数组的后半部分[3, 5]。 - 继续递归，
idx = 3可能表示[0, 1]，idx = 4表示[2, 2]等等。
因此，idx 就是线段树中节点的唯一标识符，通过它可以在 tree 数组中找到相应节点的位置。
为了更详细地解释如何构建线段树，我将使用从1开始的数组编号，并逐行解释代码的每一步。假设我们有一个数组 arr = {2, 5, 1, 4, 9, 3}，它的索引从1开始。
线段树的构建
我们将重点放在 buildTree 函数上，这个函数的作用是递归地构建线段树。下面是该函数的代码，以及每行代码的详细解释。
void buildTree(const vector<int>& arr, int start, int end, int idx) {
if (start == end) {
tree[idx] = arr[start];
} else {
int mid = start + (end - start) / 2;
buildTree(arr, start, mid, 2 * idx + 1);
buildTree(arr, mid + 1, end, 2 * idx + 2);
tree[idx] = min(tree[2 * idx + 1], tree[2 * idx + 2]);
}
}
参数说明
arr：原始数组，包含要构建线段树的数据。start：当前处理的区间的起始索引（从1开始）。end：当前处理的区间的结束索引（从1开始）。idx：当前节点在线段树数组tree中的位置。
例子
假设我们有数组 arr = {2, 5, 1, 4, 9, 3}，我们将构建一个线段树来处理区间最小值查询。
-
初始调用：
buildTree(arr, 1, 6, 0)对应处理区间[1, 6]，即整个数组。这意味着根节点
idx = 0管理整个数组[1, 6]的最小值。 -
叶子节点处理：
if (start == end) { tree[idx] = arr[start]; }- 如果
start和end相等，表示当前区间只有一个元素，这是一个叶子节点。 - 直接将该元素存入
tree数组的idx位置。
示例：当
start = 3，end = 3时，调用buildTree(arr, 3, 3, 4)，此时idx = 4，这意味着我们处理的是区间[3, 3]，即数组arr[3]。我们将tree[4]设置为arr[3]的值1。 - 如果
-
递归构建左子树和右子树：
int mid = start + (end - start) / 2; buildTree(arr, start, mid, 2 * idx + 1); buildTree(arr, mid + 1, end, 2 * idx + 2);- 我们首先计算当前区间的中点
mid，将区间分成左右两部分。 mid的计算方式是mid = start + (end - start) / 2。例如，对于[1, 6]，mid = 1 + (6 - 1) / 2 = 3，所以区间分为[1, 3]和[4, 6]。- 递归调用
buildTree函数来构建左子树和右子树。 - 左子树的索引为
2 * idx + 1，右子树的索引为2 * idx + 2。
示例：对于根节点（
idx = 0），区间[1, 6]被分为[1, 3]和[4, 6]，接着递归构建左子树buildTree(arr, 1, 3, 1)和右子树buildTree(arr, 4, 6, 2)。 - 我们首先计算当前区间的中点
-
合并结果：
tree[idx] = min(tree[2 * idx + 1], tree[2 * idx + 2]);- 当左子树和右子树构建完成后，将它们的最小值合并为当前节点的值。
tree[idx]保存的是左右子树中最小的值。
示例：假设
buildTree(arr, 1, 3, 1)处理区间[1, 3]返回的左子树最小值为1，buildTree(arr, 4, 6, 2)处理区间[4, 6]返回的右子树最小值为3，那么根节点tree[0]将被设为min(1, 3) = 1。
完整树的结构
通过递归调用，最终我们将得到一棵线段树。假设 arr = {2, 5, 1, 4, 9, 3}，用1开始的索引来表示：
- 根节点
tree[0]管理整个数组[1, 6]，存储最小值1。 - 左子树
tree[1]管理[1, 3]，存储最小值1。 - 右子树
tree[2]管理[4, 6]，存储最小值3。
逐渐递归下去，直到所有叶子节点都填满为止。
总结
每个节点的 idx 表示线段树中节点在数组 tree 中的位置。通过递归分治法，我们将整个区间分成若干子区间，逐步构建线段树的每个节点。最终，树的根节点（tree[0]）存储了整个数组的最小值，树的其他节点存储了各自子区间的最小值。
在线段树中，搜索过程通常指的是查询某个区间内的最小值、最大值或其他聚合信息。为了更好地理解搜索过程，我们将详细讲解如何使用线段树来查询一个给定区间内的最小值，并通过逐步解析代码的方式说明每一步的具体操作。
问题描述
假设我们有一个从1开始编号的数组 arr = {2, 5, 1, 4, 9, 3}，我们希望使用线段树来查询任意给定区间 [l, r] 内的最小值。
查询函数：queryMin
我们使用如下函数来查询区间 [l, r] 内的最小值：
int queryMin(int start, int end, int l, int r, int idx) {
if (l <= start && r >= end) {
return tree[idx];
}
if (end < l || start > r) {
return INT_MAX;
}
int mid = start + (end - start) / 2;
return min(queryMin(start, mid, l, r, 2 * idx + 1),
queryMin(mid + 1, end, l, r, 2 * idx + 2));
}
参数说明
start：当前节点管理的区间起始索引。end：当前节点管理的区间结束索引。l和r：查询的目标区间[l, r]。idx：当前节点在tree数组中的位置。
查询过程的详细解释
假设我们要查询区间 [2, 5] 的最小值，初始调用 queryMin(1, 6, 2, 5, 0)，即从根节点开始搜索。
-
判断当前区间是否完全覆盖查询区间：
if (l <= start && r >= end) { return tree[idx]; }- 如果当前节点管理的区间
[start, end]完全包含在查询区间[l, r]内（即l <= start且r >= end），那么当前节点存储的值就是该区间的最小值，直接返回tree[idx]。
示例：如果我们查询区间
[2, 5]，而当前节点管理的是[4, 6]，此时start = 4, end = 6, l = 2, r = 5，不完全覆盖，所以不返回。 - 如果当前节点管理的区间
-
判断当前区间与查询区间是否没有交集：
if (end < l || start > r) { return INT_MAX; }- 如果当前区间与查询区间没有任何交集（即
end < l或start > r），这意味着当前节点不需要参与最小值的计算，返回一个极大值INT_MAX（表示无效值）。
示例：如果当前节点管理的区间
[1, 1]，此时start = 1, end = 1, l = 2, r = 5，显然没有交集，返回INT_MAX。 - 如果当前区间与查询区间没有任何交集（即
-
部分覆盖：递归查询左右子区间：
int mid = start + (end - start) / 2; return min(queryMin(start, mid, l, r, 2 * idx + 1), queryMin(mid + 1, end, l, r, 2 * idx + 2));- 如果当前区间
[start, end]和查询区间[l, r]部分重叠，继续递归查询左右子树。 - 首先计算当前区间的中点
mid，将当前区间[start, end]分为[start, mid]和[mid + 1, end]两个子区间。 - 递归查询左子树和右子树的最小值，然后返回这两个子区间的最小值作为结果。
示例：查询区间
[2, 5]，当前节点管理区间[1, 6]，将其分为[1, 3]和[4, 6]，然后递归查询左右子区间，最后返回两个子区间的最小值。 - 如果当前区间
完整查询过程示例
假设我们要查询 arr 中 [2, 5] 的最小值，调用 queryMin(1, 6, 2, 5, 0)。以下是递归查询的详细步骤：
-
根节点：
start = 1, end = 6, l = 2, r = 5, idx = 0。- 当前区间
[1, 6]与查询区间[2, 5]部分重叠，继续递归查询。 - 计算
mid = 1 + (6 - 1) / 2 = 3。 - 查询左子树
[1, 3]和右子树[4, 6]。
-
左子树
[1, 3]：start = 1, end = 3, l = 2, r = 5, idx = 1。- 当前区间
[1, 3]与查询区间[2, 5]部分重叠，继续递归查询。 - 计算
mid = 1 + (3 - 1) / 2 = 2。 - 查询左子树
[1, 2]和右子树[3, 3]。
-
左子树的左子树
[1, 2]：start = 1, end = 2, l = 2, r = 5, idx = 3。- 当前区间
[1, 2]与查询区间[2, 5]部分重叠，继续递归查询。 - 计算
mid = 1 + (2 - 1) / 2 = 1。 - 查询左子树
[1, 1]和右子树[2, 2]。
-
到达叶子节点
[1, 1]：start = 1, end = 1, l = 2, r = 5, idx = 7。- 当前区间
[1, 1]与查询区间[2, 5]无交集，返回INT_MAX。
-
叶子节点
[2, 2]：start = 2, end = 2, l = 2, r = 5, idx = 8。- 当前区间
[2, 2]完全包含在查询区间[2, 5]内，返回tree[8] = 5。
-
回到节点
[1, 2]：- 左子树返回
INT_MAX，右子树返回5，取min(INT_MAX, 5) = 5。
- 左子树返回
-
右子树
[3, 3]：start = 3, end = 3, l = 2, r = 5, idx = 4。- 当前区间
[3, 3]完全包含在查询区间[2, 5]内，返回tree[4] = 1。
-
回到节点
[1, 3]：- 左子树返回
5，右子树返回1，取min(5, 1) = 1。
- 左子树返回
-
右子树
[4, 6]：start = 4, end = 6, l = 2, r = 5, idx = 2。- 当前区间
[4, 6]与查询区间[2, 5]部分重叠，继续递归查询。 - 计算
mid = 4 + (6 - 4) / 2 = 5。 - 查询左子树
[4, 5]和右子树[6, 6]。
-
左子树
[4, 5]：start = 4, end = 5, l = 2, r = 5, idx = 5。- 当前区间
[4, 5]完全包含在查询区间[2, 5]内，返回tree[5] = 4。
-
右子树
[6, 6]：start = 6, end = 6, l = 2, r = 5, idx = 6。- 当前区间
[6, 6]与
查询区间 [2, 5] 无交集，返回 INT_MAX。
-
回到节点
[4, 6]：- 左子树返回
4，右子树返回INT_MAX，取min(4, INT_MAX) = 4。
- 左子树返回
-
回到根节点
[1, 6]：- 左子树返回
1，右子树返回4，最终结果为min(1, 4) = 1。
- 左子树返回
总结
通过递归地将查询区间 [l, r] 与线段树节点管理的区间 [start, end] 比较，我们可以有效地找到查询区间内的最小值。这个过程利用了线段树的分治思想和区间重叠的特性，确保每次查询的时间复杂度为 O(log n)。