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bdfz_2024_summer/day7/inverse/inverse_by_chat.md

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快速幂算法是一种高效计算大整数幂次的方法，时间复杂度为 $O(\log n)$，远优于直接的幂运算 $O(n)$。其核心思想是将指数的二进制展开，通过平方和乘法快速计算幂次。以下是详细的解释和实现。

核心思想

假设我们要计算 $a^b \mod m$，其基本思想如下：

  1. 如果 b 是偶数： $ a^b = (a^{b/2})^2 $
  2. 如果 b 是奇数： $ a^b = a \cdot a^{b-1} $

通过这种递归分治的方法，可以将指数迅速减半，从而提高计算效率。

算法步骤

  1. 初始化结果 $result = 1$。
  2. 当 b > 0 时，执行以下循环：
    • 如果 b 是奇数，更新结果：$result = (result \cdot a) \mod m$。
    • 更新基数：$a = (a \cdot a) \mod m$。
    • 将 b 右移一位（相当于除以 2）。
  3. 返回结果。

代码实现

以下是 C++ 代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;

// 快速幂算法，计算 (base^exp) % mod
long long modExp(long long base, long long exp, long long mod) {
    long long result = 1;  // 初始化结果
    while (exp > 0) {
        if (exp % 2 == 1) {  // 如果 exp 是奇数
            result = (result * base) % mod;
        }
        base = (base * base) % mod;  // 基数自乘
        exp /= 2;  // 指数右移一位
    }
    return result;
}

int main() {
    long long base = 3, exp = 200, mod = 13;
    cout << base << "^" << exp << " % " << mod << " = " << modExp(base, exp, mod) << endl;
    return 0;
}

逐行解释

  1. 函数声明和初始化：

    long long modExp(long long base, long long exp, long long mod) {
    long long result = 1;
    • modExp 函数接受三个参数：base (底数)，exp (指数)，和 mod (模数)。
    • result 初始化为 1，将用于存储最终结果。

  2. 循环：

        while (exp > 0) {
    • 当 exp 大于 0 时，继续循环。

  3. 处理指数为奇数的情况：

            if (exp % 2 == 1) {
            result = (result * base) % mod;
        }
    • 如果 exp 是奇数（即 exp % 2 == 1），更新 result 为 (result * base) % mod。

  4. 更新基数和指数：

            base = (base * base) % mod;
        exp /= 2;
    }
    • 将 base 更新为 (base * base) % mod，这一步相当于将 base 平方。
    • 将 exp 右移一位（相当于除以 2）。

  5. 返回结果：

        return result;
}
    • 当 exp 为 0 时，循环结束，返回 result。

  6. 主函数：

    int main() {
    long long base = 3, exp = 200, mod = 13;
    cout << base << "^" << exp << " % " << mod << " = " << modExp(base, exp, mod) << endl;
    return 0;
}
    • 定义底数、指数和模数，调用 modExp 计算结果并输出。

示例计算

假设我们要计算 $3^{200} \mod 13$，步骤如下：

  1. 初始值：result = 1，base = 3，exp = 200，mod = 13。
  2. 200 是偶数，计算 base = (3 * 3) % 13 = 9，exp = 200 / 2 = 100。
  3. 100 是偶数，计算 base = (9 * 9) % 13 = 81 % 13 = 3，exp = 100 / 2 = 50。
  4. 50 是偶数，计算 base = (3 * 3) % 13 = 9，exp = 50 / 2 = 25。
  5. 25 是奇数，计算 result = (1 * 9) % 13 = 9，base = (9 * 9) % 13 = 81 % 13 = 3，exp = 25 / 2 = 12。
  6. 重复上述步骤，直到 exp 为 0。

最终结果为 3^{200} % 13 = 9。

通过这种方法，可以高效地计算大整数幂次的模运算。如果有其他问题或需要进一步的解释，随时告诉我！

要使用费马小定理和快速幂来计算 $\frac{a}{b} \mod p$，需要先了解费马小定理和快速幂算法。

费马小定理

费马小定理表明，对于一个质数 p 和任意整数 $ a ，如果 a 不被 p $ 整除，则：

a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}

通过这个定理，可以得到 a 的逆元：

a^{p-2} \equiv a^{-1} \pmod{p}

快速幂算法

快速幂算法用于高效地计算大整数的幂模某个数的值。其时间复杂度是 $ O(\log n) $。

实现步骤

  1. 使用费马小定理求模逆元。
  2. 使用快速幂算法求出 b^{p-2} \mod p 作为 b 的逆元。
  3. 将分数转换为乘法形式。

C++ 实现

以下是使用费马小定理和快速幂算法计算 \frac{a}{b} \mod p 的 C++ 实现：

#include <iostream>
using namespace std;

// 快速幂算法，计算 (base^exp) % mod
long long modExp(long long base, long long exp, long long mod) {
    long long result = 1;
    while (exp > 0) {
        if (exp % 2 == 1) {  // 如果 exp 是奇数
            result = (result * base) % mod;
        }
        base = (base * base) % mod;
        exp /= 2;
    }
    return result;
}

// 求 b 在模 p 下的逆元，使用费马小定理
long long modInverse(long long b, long long p) {
    // b^(p-2) ≡ b^(-1) (mod p)
    return modExp(b, p - 2, p);
}

// 计算 (a / b) % p
long long modDivide(long long a, long long b, long long p) {
    long long inv = modInverse(b, p);
    return (a * inv) % p;
}

int main() {
    long long a = 10, b = 3, p = 7;
    try {
        long long result = modDivide(a, b, p);
        cout << "Result of " << a << "/" << b << " mod " << p << " is: " << result << endl;
    } catch (const invalid_argument &e) {
        cout << e.what() << endl;
    }
    return 0;
}

逐行解释

  1. 快速幂算法：

    long long modExp(long long base, long long exp, long long mod) {
    long long result = 1;
    while (exp > 0) {
        if (exp % 2 == 1) {  // 如果 exp 是奇数
            result = (result * base) % mod;
        }
        base = (base * base) % mod;
        exp /= 2;
    }
    return result;
}
    • modExp 函数实现快速幂算法，通过不断将指数减半，并在指数为奇数时乘以当前基数。
    • 循环中，基数平方并取模，指数减半，最终结果为 $(base^{exp}) \mod mod$。

  2. 求模逆元：

    long long modInverse(long long b, long long p) {
    return modExp(b, p - 2, p);
}
    • 使用费马小定理计算 b 的逆元，即 $ b^{p-2} \mod p $。

  3. 计算 $\frac{a}{b} \mod p$：

    long long modDivide(long long a, long long b, long long p) {
    long long inv = modInverse(b, p);
    return (a * inv) % p;
}
    • 调用 modInverse 求出 b 的模逆元 $ inv $。
    • 计算并返回 $ (a \times inv) \mod p $。

  4. 主函数：

    int main() {
    long long a = 10, b = 3, p = 7;
    try {
        long long result = modDivide(a, b, p);
        cout << "Result of " << a << "/" << b << " mod " << p << " is: " << result << endl;
    } catch (const invalid_argument &e) {
        cout << e.what() << endl;
    }
    return 0;
}
    • 定义 a, b, p 的值。
    • 调用 modDivide 计算结果并输出。

使用扩展欧几里得算法（Extended Euclidean Algorithm, Exgcd）来求解模逆元也是一种经典且高效的方法，特别是在处理大数时更为优越。接下来，我将详细解释如何使用扩展欧几里得算法来实现分数 \frac{a}{b} \mod p 的计算，并与快速幂进行比较。

扩展欧几里得算法的原理

扩展欧几里得算法不仅可以用于求两个数的最大公约数（GCD），还能求出模逆元。对于两个整数 a 和 (b)，扩展欧几里得算法可以找到一组整数 x 和 (y)，使得：


ax + by = \gcd(a, b)

当 a 和 b 互质时，(\gcd(a, b) = 1)，因此方程变为：


ax + by = 1

在这种情况下，x 就是 a 模 b 的逆元，即：


a^{-1} \equiv x \pmod{b}

C++ 实现

下面是使用扩展欧几里得算法计算分数 \frac{a}{b} \mod p 的 C++ 实现代码：

#include <iostream>
using namespace std;

// 扩展欧几里得算法
long long extendedGCD(long long a, long long b, long long &x, long long &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    long long x1, y1;
    long long gcd = extendedGCD(b, a % b, x1, y1);
    x = y1;
    y = x1 - (a / b) * y1;
    return gcd;
}

// 求 b 的逆元，前提是 b 和 p 互质
long long modInverse(long long b, long long p) {
    long long x, y;
    long long g = extendedGCD(b, p, x, y);
    if (g != 1) {
        throw invalid_argument("Inverse doesn't exist.");
    } else {
        // 确保结果是正数
        return (x % p + p) % p;
    }
}

// 计算 (a / b) % p
long long modDivide(long long a, long long b, long long p) {
    long long inv = modInverse(b, p);
    return (a * inv) % p;
}

int main() {
    long long a = 10, b = 3, p = 7;
    try {
        long long result = modDivide(a, b, p);
        cout << "Result of " << a << "/" << b << " mod " << p << " is: " << result << endl;
    } catch (const invalid_argument &e) {
        cout << e.what() << endl;
    }
    return 0;
}

逐行解释

  1. 扩展欧几里得算法：

    long long extendedGCD(long long a, long long b, long long &x, long long &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    long long x1, y1;
    long long gcd = extendedGCD(b, a % b, x1, y1);
    x = y1;
    y = x1 - (a / b) * y1;
    return gcd;
}
    • 当 b = 0 时，直接返回 a 作为 gcd，设 x = 1 和 (y = 0)。
    • 递归调用 extendedGCD(b, a % b, x1, y1)，计算 gcd 及其对应的系数。
    • 通过回溯，计算当前的 x 和 (y)。

  2. 求模逆元：

    long long modInverse(long long b, long long p) {
    long long x, y;
    long long g = extendedGCD(b, p, x, y);
    if (g != 1) {
        throw invalid_argument("Inverse doesn't exist.");
    } else {
        return (x % p + p) % p;
    }
}
    • 使用扩展欧几里得算法计算 b 的模逆元 (x)。
    • 如果 gcd 不为 1，则 b 和 p 不互质，逆元不存在。
    • 否则，返回 x 的正值作为逆元。

  3. 计算 (\frac{a}{b} \mod p)：

    long long modDivide(long long a, long long b, long long p) {
    long long inv = modInverse(b, p);
    return (a * inv) % p;
}
    • 调用 modInverse 求出 b 的逆元 (inv)。
    • 返回 ( (a \times inv) \mod p )。

  4. 主函数：

    int main() {
    long long a = 10, b = 3, p = 7;
    try {
        long long result = modDivide(a, b, p);
        cout << "Result of " << a << "/" << b << " mod " << p << " is: " << result << endl;
    } catch (const invalid_argument &e) {
        cout << e.what() << endl;
    }
    return 0;
}
    • 定义 a, b, p 的值，计算并输出结果。

为什么使用 Exgcd ？

相比于快速幂算法，Exgcd 在某些场景下更加灵活和高效：

  1. 处理更大范围的数：Exgcd 可以直接处理整数（包括负数），而快速幂需要在计算中额外处理这些情况。
  2. 无需质数模：快速幂算法基于费马小定理，只能在模数为质数的情况下使用。而 Exgcd 不要求模数为质数。
  3. 更快的计算速度：对于某些特定的输入，Exgcd 在常数时间上可能更快。

通过这种方式，你可以在 C++ 中使用扩展欧几里得算法来实现高效的分数模运算。如果你还有其他问题或需要进一步的解释，随时告诉我！