alg2025/src/2/P6476.md

为了解决这个问题，我们需要判断是否存在一种涂色方案，使得在忽略未染色格子后，不存在k个连续的相同颜色的格子。通过分析，我们可以利用数学方法来确定这种方案的存在性。

方法思路

1. 最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)：首先计算给定两个数p1和p2的GCD，这有助于确定它们的倍数分布。
2. 非公共倍数数目：计算每个数的非公共倍数数目，即那些仅属于p1或p2的倍数。
3. 最大连续块长度：通过数学公式计算在忽略公共倍数的情况下，红色和蓝色格子的最大连续块长度。
4. 判断条件：根据计算的最大连续块长度判断是否存在满足条件的涂色方案。

解决代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        long long p1, p2, k;
        cin >> p1 >> p2 >> k;
        if (k == 1) {
            cout << "NO\n";
            continue;
        }
        long long g = gcd(p1, p2);
        long long R = (p2 / g) - 1;
        long long B = (p1 / g) - 1;
        if (R < 0) R = 0;
        if (B < 0) B = 0;
        long long max_red = (R + B) / (B + 1);
        long long max_blue = (B + R) / (R + 1);
        long long max_val = max(max_red, max_blue);
        if (max_val >= k) {
            cout << "NO\n";
        } else {
            cout << "YES\n";
        }
    }
    return 0;
}

代码解释

1. 输入处理：使用快速输入输出处理多组测试数据。
2. 特殊情况处理：当k为1时，直接输出"NO"，因为不可能存在不连续的涂色方案。
3. GCD计算：计算p1和p2的最大公约数g。
4. 非公共倍数数目计算：计算每个数的非公共倍数数目R和B。
5. 最大连续块长度计算：通过公式计算红色和蓝色的最大连续块长度。
6. 条件判断：根据最大连续块长度与k的比较，输出结果。

该方法高效地利用了数学性质，避免了直接遍历所有可能的涂色方案，能够在O(1)时间内处理每个测试用例，适用于大规模输入。

你的代码旨在解决一个染色格子的组合问题，具体来说是判断是否存在一种染色方案，使得在染色后的格子中，不存在 k 个连续相同颜色的格子。以下是对你的代码逻辑的详细解释：

问题回顾

你有编号从 0 到 10^{20}-1 的格子。初始时，所有格子都未染色。染色规则如下：

1. 编号是 p_1 倍数的格子染成红色。
2. 编号是 p_2 倍数的格子染成蓝色。
3. 如果一个格子编号是既是 p_1 倍数又是 p_2 倍数，可以选择染成红色或蓝色。

最终，需要判断是否存在一种染色方案，使得染色后的格子中不存在 k 个连续相同颜色的格子。

代码逻辑分析

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        long long p1, p2, k;
        cin >> p1 >> p2 >> k;
        if (k == 1) {
            cout << "NO\n";
            continue;
        }
        long long g = gcd(p1, p2);
        long long R = (p2 / g) - 1;
        long long B = (p1 / g) - 1;
        if (R < 0) R = 0;
        if (B < 0) B = 0;
        long long max_red = (R + B) / (B + 1);
        long long max_blue = (B + R) / (R + 1);
        long long max_val = max(max_red, max_blue);
        if (max_val >= k) {
            cout << "NO\n";
        } else {
            cout << "YES\n";
        }
    }
    return 0;
}

1. 输入读取与预处理

• 输入多组数据： 首先读取测试数据组数 $T$，然后对于每组数据，读取三个参数 $p_1, p_2, k$。

int T;
cin >> T;
while (T--) {
    long long p1, p2, k;
    cin >> p1 >> p2 >> k;
    // 处理逻辑
}

2. 特殊情况处理

• 当 $k = 1$： 如果 $k = 1$，意味着不允许有任何一个染色格子存在（因为任何一个染色都会违反），因此直接输出 NO。

if (k == 1) {
    cout << "NO\n";
    continue;
}

3. 计算公倍数和未染色格子

• 求最大公约数 $g$： 计算 p_1 和 p_2 的最大公约数 $g$。这有助于找到它们的最小公倍数。

long long g = gcd(p1, p2);

• 计算交集格子的周期：

  • 红色格子的周期： 红色格子的周期为 $p_1$，蓝色格子的周期为 $p_2$。共有交集格子的周期为 $\text{lcm}(p_1, p_2) = \frac{p_1 \times p_2}{g}$。

• 计算红色和蓝色的最大连续数：

  long long R = (p2 / g) - 1;
  long long B = (p1 / g) - 1;
  if (R < 0) R = 0;
  if (B < 0) B = 0;
  

  • 这里，R 和 B 分别代表在一个周期内，红色和蓝色之间的最大连续未染色格子数。具体来说：
    • R = (p2 / g) - 1：在蓝色格子之间，最多可以有 (\frac{p_2}{g} - 1) 个未染色的红色格子。
    • B = (p1 / g) - 1：在红色格子之间，最多可以有 (\frac{p_1}{g} - 1) 个未染色的蓝色格子。
  • 如果计算出的 R 或 B 为负数（即 p_2 < g 或 $p_1 < g$），则将其设为 $0$，因为这意味着在这种情况下没有未染色的连续格子。

4. 计算最大连续相同颜色的格子数

long long max_red = (R + B) / (B + 1);
long long max_blue = (B + R) / (R + 1);
long long max_val = max(max_red, max_blue);

• max_red 和 max_blue 的含义：

  • max_red：在红色格子之间，允许的最大连续红色格子数。
  • max_blue：在蓝色格子之间，允许的最大连续蓝色格子数。

  具体计算方式：

  • (R + B) / (B + 1)：这是为了确保在分布 R 个红色格子和 B 个蓝色格子时，红色格子的连续数不超过 $k-1$。类似地，(B + R) / (R + 1) 确保蓝色格子的连续数不超过 $k-1$。

• max_val： 取 max_red 和 max_blue 中的较大值，代表在染色方案中可能的最大连续相同颜色格子数。

5. 判断是否存在非无聊的染色方案

if (max_val >= k) {
    cout << "NO\n";
} else {
    cout << "YES\n";
}

• 判断逻辑：
  • 如果 max_val >= k，意味着在某种情况下，存在 k 个连续相同颜色的格子，这样的染色方案是无聊的，因此输出 NO。
  • 否则，存在一种染色方式，可以避免 k 个连续相同颜色的格子，因此输出 YES。

代码整体思路总结

1. 处理特殊情况： 如果不允许有任何一个染色格子（即 $k = 1$），直接输出 NO。
2. 计算周期与交集： 通过计算 p_1 和 p_2 的最大公约数，确定红色和蓝色格子相互之间的分布周期。
3. 计算允许的最大连续颜色数： 通过分析红色和蓝色格子之间的未染色间隔，计算在染色过程中可能出现的最大连续相同颜色的格子数。
4. 判断染色方案的可行性： 比较计算出的最大连续颜色数是否达到或超过禁忌值 $k$，从而决定是否存在一种不无聊的染色方案。

这种方法通过数学推导和周期性分析，避免了对 10^{20} 个格子的逐一检查，极大地提高了效率，适用于大规模数据的处理。