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Zengtudor 9b2c5c58ed update

2024-12-01 00:29:43 +08:00

这个问题涉及三值逻辑（True、False、Unknown）变量的赋值与操作，需要找到一种初始赋值方案，使得在执行所有操作后，每个变量的最终值与初始值相同，并且使初始赋值中 Unknown 的变量尽可能少。

变量与操作：
- 有 n 个变量，每个变量的值可以是 T、F 或 U。
- 有 m 条操作，这些操作包括直接赋值（如 x_i ← T）、赋值为另一个变量的值（如 x_i ← x_j）、或赋值为另一个变量的逻辑非（如 x_i ← ¬x_j）。
目标：
- 执行所有操作后，所有变量的最终值与初始值相同。
- 在满足上述条件的前提下，初始赋值中 Unknown 的变量数最少。

为了满足最终值等于初始值，需要建立变量之间的依赖关系，并找出这些关系中的约束条件。可以将变量及其值的赋值关系看作是一个等式系统，通过这些等式来确定变量的可能取值。为了有效管理这些等式并高效求解，使用 并查集（Union-Find 是一种常见的方法。

表示三值逻辑：
- 将 T、F、U 分别映射为不同的整数值，便于在代码中处理：
  - T 被表示为 100001
  - F 被表示为 -100001
  - U 被表示为 0
并查集初始化：
- 使用一个数组 fa 来表示每个变量的父节点或代表元素。初始时，每个变量的父节点指向自己。
处理每条操作：
- 直接赋值操作（T、F、U）：
  - 如果操作是 x_i ← T，则将 fa[x_i] 设为 T 的表示值。
  - 类似地处理 x_i ← F 和 x_i ← U。
- 赋值为另一个变量的值（+ 操作）：
  - 如果操作是 x_i ← x_j，则将 fa[x_i] 设为 fa[x_j]，表示 x_i 与 x_j 的值相同。
- 赋值为另一个变量的非值（- 操作）：
  - 如果操作是 x_i ← ¬x_j，则将 fa[x_i] 设为 -fa[x_j]，表示 x_i 是 x_j 值的逻辑非。
查找变量的最终值：
- 使用 find 函数来查找变量的代表值。
- 在 find 函数中：
  - 对于 T 和 F，直接返回其表示值。
  - 对于 U，返回 0。
  - 对于其他情况，通过递归查找父节点，处理逻辑非的情况，并使用 book 数组避免死循环。
计算 Unknown 的最小数量：
- 遍历所有变量，使用 find 函数确定每个变量的最终值。
- 如果某个变量的最终值为 U，则计数。
- 输出所有测试数据中 Unknown 变量的最小数量。

处理逻辑非（¬）：
- 逻辑非会改变变量的值，因此在并查集中需要表示变量与其非值的关系。
- 使用负值表示逻辑非关系，例如 x_i ← ¬x_j 表示 fa[x_i] = -fa[x_j]。
防止死循环：
- 当变量的代表值可能因逻辑非关系而相互指向时，可能会引发无限递归。通过 book 数组记录已经访问过的节点，从而避免死循环。
高效的查找操作：
- 使用路径压缩技术优化 find 函数，使得查找操作的时间复杂度接近常数时间，确保算法在大规模数据（n, m ≤ 10^5）下依然高效。

以第一个样例为例：

操作步骤：
1. x_2 ← ¬x_1：fa[2] = -fa[1]
2. x_3 ← ¬x_2：fa[3] = -fa[2]
3. x_1 ← x_3：fa[1] = fa[3]
通过并查集的合并与查找，最终确定每个变量的值，使得初始值与最终值相同，并且 Unknown 的数量最少。在该示例中，可以赋予 x1 = T，x2 = F，x3 = T，使得 Unknown 的数量为 0。

该解决方案通过并查集有效地管理变量之间的赋值与逻辑关系，处理了直接赋值、变量赋值以及逻辑非赋值的情况。通过高效的查找与合并操作，能够在大规模数据下快速求解，同时通过合理的表示与优化，确保了算法的正确性与效率。