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这个问题涉及三值逻辑（True、False、Unknown）变量的赋值与操作，需要找到一种初始赋值方案，使得在执行所有操作后，每个变量的最终值与初始值相同，并且使初始赋值中 `Unknown` 的变量尽可能少。
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### 问题分析
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1. **变量与操作**：
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- 有 `n` 个变量，每个变量的值可以是 `T`、`F` 或 `U`。
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- 有 `m` 条操作，这些操作包括直接赋值（如 `x_i ← T`）、赋值为另一个变量的值（如 `x_i ← x_j`）、或赋值为另一个变量的逻辑非（如 `x_i ← ¬x_j`）。
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2. **目标**：
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- 执行所有操作后，所有变量的最终值与初始值相同。
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- 在满足上述条件的前提下，初始赋值中 `Unknown` 的变量数最少。
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### 思路概述
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为了满足最终值等于初始值，需要建立变量之间的依赖关系，并找出这些关系中的约束条件。可以将变量及其值的赋值关系看作是一个等式系统，通过这些等式来确定变量的可能取值。为了有效管理这些等式并高效求解，使用 **并查集（Union-Find** 是一种常见的方法。
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### 具体步骤
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1. **表示三值逻辑**：
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- 将 `T`、`F`、`U` 分别映射为不同的整数值，便于在代码中处理：
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- `T` 被表示为 `100001`
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- `F` 被表示为 `-100001`
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- `U` 被表示为 `0`
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2. **并查集初始化**：
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- 使用一个数组 `fa` 来表示每个变量的父节点或代表元素。初始时，每个变量的父节点指向自己。
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3. **处理每条操作**：
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- **直接赋值操作**（`T`、`F`、`U`）：
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- 如果操作是 `x_i ← T`，则将 `fa[x_i]` 设为 `T` 的表示值。
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- 类似地处理 `x_i ← F` 和 `x_i ← U`。
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- **赋值为另一个变量的值**（`+` 操作）：
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- 如果操作是 `x_i ← x_j`，则将 `fa[x_i]` 设为 `fa[x_j]`，表示 `x_i` 与 `x_j` 的值相同。
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- **赋值为另一个变量的非值**（`-` 操作）：
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- 如果操作是 `x_i ← ¬x_j`，则将 `fa[x_i]` 设为 `-fa[x_j]`，表示 `x_i` 是 `x_j` 值的逻辑非。
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4. **查找变量的最终值**：
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- 使用 `find` 函数来查找变量的代表值。
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- 在 `find` 函数中：
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- 对于 `T` 和 `F`，直接返回其表示值。
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- 对于 `U`，返回 `0`。
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- 对于其他情况，通过递归查找父节点，处理逻辑非的情况，并使用 `book` 数组避免死循环。
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5. **计算 `Unknown` 的最小数量**：
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- 遍历所有变量，使用 `find` 函数确定每个变量的最终值。
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- 如果某个变量的最终值为 `U`，则计数。
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- 输出所有测试数据中 `Unknown` 变量的最小数量。
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### 关键细节与优化
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- **处理逻辑非（`¬`）**：
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- 逻辑非会改变变量的值，因此在并查集中需要表示变量与其非值的关系。
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- 使用负值表示逻辑非关系，例如 `x_i ← ¬x_j` 表示 `fa[x_i] = -fa[x_j]`。
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- **防止死循环**：
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- 当变量的代表值可能因逻辑非关系而相互指向时，可能会引发无限递归。通过 `book` 数组记录已经访问过的节点，从而避免死循环。
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- **高效的查找操作**：
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- 使用路径压缩技术优化 `find` 函数，使得查找操作的时间复杂度接近常数时间，确保算法在大规模数据（`n, m ≤ 10^5`）下依然高效。
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### 示例解析
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以第一个样例为例：
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3 3
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- 2 1
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- 3 2
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+ 1 3
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- 操作步骤：
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1. `x_2 ← ¬x_1`：`fa[2] = -fa[1]`
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2. `x_3 ← ¬x_2`：`fa[3] = -fa[2]`
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3. `x_1 ← x_3`：`fa[1] = fa[3]`
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- 通过并查集的合并与查找，最终确定每个变量的值，使得初始值与最终值相同，并且 `Unknown` 的数量最少。在该示例中，可以赋予 `x1 = T`，`x2 = F`，`x3 = T`，使得 `Unknown` 的数量为 `0`。
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### 总结
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该解决方案通过并查集有效地管理变量之间的赋值与逻辑关系，处理了直接赋值、变量赋值以及逻辑非赋值的情况。通过高效的查找与合并操作，能够在大规模数据下快速求解，同时通过合理的表示与优化，确保了算法的正确性与效率。 |