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这道题的目标是找到一个子序列，使得该子序列中的所有元素都可以被某个大于1的整数$k$整除，并且该子序列的和最大。要实现这一点，我们可以考虑以下思路：
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### 思路解析
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1. **选择质数作为$k$：**
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对于每一个质数$k$，如果序列中的所有元素都是$k$的倍数，那么这个子序列显然是合法的。因此，我们的目标就是找到一个质数$k$，使得从原序列中取出的所有$k$的倍数之和最大。
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2. **枚举质数$k$：**
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由于$k$必须是一个大于1的整数，所以我们只需要枚举所有可能的质数$k$，并计算原序列中所有是$k$倍数的元素之和。然后取这些和中的最大值作为结果。
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3. **复杂度分析：**
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由于题目给出的$ a_i $最大可以达到$ 10^9 $，所以质数的范围实际上是受限的。质数的个数大约为$O(\sqrt{a_i})$，因此枚举所有质数的复杂度是可以接受的。对于每个质数$k$，我们需要遍历整个序列以找到所有的$k$倍数，最终复杂度为$O(n\sqrt{a_i})$。
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### 实现步骤
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1. **筛选质数：**
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使用埃氏筛法或者其他方法来筛选出$[2,\sqrt{10^9}]$范围内的所有质数。
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2. **计算每个质数对应的合法子序列的和：**
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对于每个筛选出的质数$k$，遍历原序列$ a_1, a_2, \dots, a_n $，计算其中所有是$k$倍数的元素的和。
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3. **取最大值：**
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在所有质数对应的和中取一个最大值作为结果输出。
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### 代码实现
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以下是该思路的一个简单实现：
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```cpp
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#include <iostream>
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#include <vector>
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#include <cmath>
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#include <algorithm>
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using namespace std;
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const int MAX_N = 1000;
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const int MAX_A = 1e9;
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// 埃氏筛法生成质数
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vector<int> sieve(int limit) {
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vector<bool> is_prime(limit + 1, true);
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vector<int> primes;
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is_prime[0] = is_prime[1] = false;
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for (int i = 2; i <= limit; ++i) {
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if (is_prime[i]) {
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primes.push_back(i);
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for (int j = i * 2; j <= limit; j += i) {
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is_prime[j] = false;
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}
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}
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}
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return primes;
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}
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int main() {
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int n;
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cin >> n;
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vector<int> a(n);
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for (int i = 0; i < n; ++i) {
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cin >> a[i];
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}
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int sqrt_max_a = sqrt(MAX_A);
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vector<int> primes = sieve(sqrt_max_a);
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int max_sum = 0;
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// 枚举质数
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for (int p : primes) {
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int current_sum = 0;
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for (int i = 0; i < n; ++i) {
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if (a[i] % p == 0) {
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current_sum += a[i];
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}
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}
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max_sum = max(max_sum, current_sum);
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}
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cout << max_sum << endl;
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return 0;
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}
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```
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### 进一步优化
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在实际实现中，还可以考虑跳过不必要的计算，尤其是当发现某个质数的倍数已经产生很大和时，可以终止不必要的继续计算。此外，如果序列中的元素全部为质数，则可以直接跳过筛选质数的步骤，只计算质数本身。
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