bdfz_2024_summer/day12/U466180/chat.md

这道题的目标是找到一个子序列，使得该子序列中的所有元素都可以被某个大于1的整数$k$整除，并且该子序列的和最大。要实现这一点，我们可以考虑以下思路：

思路解析

1. 选择质数作为$k$：
   对于每一个质数$k$，如果序列中的所有元素都是$k$的倍数，那么这个子序列显然是合法的。因此，我们的目标就是找到一个质数$k$，使得从原序列中取出的所有$k$的倍数之和最大。

2. 枚举质数$k$：
   由于$k$必须是一个大于1的整数，所以我们只需要枚举所有可能的质数$k$，并计算原序列中所有是$k$倍数的元素之和。然后取这些和中的最大值作为结果。

3. 复杂度分析：
   由于题目给出的$ a_i 最大可以达到 10^9 $，所以质数的范围实际上是受限的。质数的个数大约为$O(\sqrt{a_i})$，因此枚举所有质数的复杂度是可以接受的。对于每个质数$k$，我们需要遍历整个序列以找到所有的$k$倍数，最终复杂度为$O(n\sqrt{a_i})$。

实现步骤

1. 筛选质数：
   使用埃氏筛法或者其他方法来筛选出$[2,\sqrt{10^9}]$范围内的所有质数。

2. 计算每个质数对应的合法子序列的和：
   对于每个筛选出的质数$k$，遍历原序列$ a_1, a_2, \dots, a_n $，计算其中所有是$k$倍数的元素的和。

3. 取最大值：
   在所有质数对应的和中取一个最大值作为结果输出。

代码实现

以下是该思路的一个简单实现：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MAX_N = 1000;
const int MAX_A = 1e9;

// 埃氏筛法生成质数
vector<int> sieve(int limit) {
    vector<bool> is_prime(limit + 1, true);
    vector<int> primes;
    is_prime[0] = is_prime[1] = false;
    for (int i = 2; i <= limit; ++i) {
        if (is_prime[i]) {
            primes.push_back(i);
            for (int j = i * 2; j <= limit; j += i) {
                is_prime[j] = false;
            }
        }
    }
    return primes;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> a[i];
    }

    int sqrt_max_a = sqrt(MAX_A);
    vector<int> primes = sieve(sqrt_max_a);

    int max_sum = 0;

    // 枚举质数
    for (int p : primes) {
        int current_sum = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            if (a[i] % p == 0) {
                current_sum += a[i];
            }
        }
        max_sum = max(max_sum, current_sum);
    }

    cout << max_sum << endl;

    return 0;
}

进一步优化

在实际实现中，还可以考虑跳过不必要的计算，尤其是当发现某个质数的倍数已经产生很大和时，可以终止不必要的继续计算。此外，如果序列中的元素全部为质数，则可以直接跳过筛选质数的步骤，只计算质数本身。