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以下是上述问题的 C++ 实现代码，使用了快速幂计算逆元和高效的 IO 处理方式，以应对可能的大规模数据输入。
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### C++ 实现
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```cpp
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#include <iostream>
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using namespace std;
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// 快速幂计算 (base^exp) % mod
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long long mod_exp(long long base, long long exp, long long mod) {
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long long result = 1;
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while (exp > 0) {
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if (exp % 2 == 1) {
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result = (result * base) % mod;
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}
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base = (base * base) % mod;
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exp /= 2;
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}
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return result;
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}
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// 模逆元计算: a^(p-2) % p
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long long mod_inverse(long long a, long long p) {
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return mod_exp(a, p - 2, p);
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}
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int main() {
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ios::sync_with_stdio(false); // 提高cin/cout的效率
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cin.tie(0); // 取消cin与cout的关联
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int n;
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long long p, k;
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cin >> n >> p >> k;
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long long result = 0;
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long long k_power = 1; // k^i
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for (int i = 0; i < n; ++i) {
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long long a_i;
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cin >> a_i;
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long long inv_a = mod_inverse(a_i, p);
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long long term = (k_power * inv_a) % p;
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result = (result + term) % p;
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// 更新k_power
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k_power = (k_power * k) % p;
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}
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cout << result << endl;
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return 0;
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}
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### 代码解释
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1. **快速幂函数 `mod_exp`**：通过二进制分解指数，实现快速计算幂次取模。
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2. **模逆元函数 `mod_inverse`**：利用费马小定理，通过快速幂计算模逆元。
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3. **高效的输入输出**：
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- `ios::sync_with_stdio(false)` 关闭 C++ 的 IO 与 C 的 IO 之间的同步，提高 IO 效率。
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- `cin.tie(0)` 解除 `cin` 与 `cout` 的关联，避免在每次 `cin` 之前执行 `cout`，进一步提升效率。
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4. **主函数逻辑**：
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- 读取输入的 `n`, `p`, `k`，以及数组 `a_i`。
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- 逐步计算每个 $k^i \times a_i^{-1} \mod p$ 并累加到结果中。
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- 最终输出累加结果。
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### 样例测试
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使用样例输入：
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6 233 42
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1 4 2 8 5 7
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程序将输出：
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91
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### 性能优化
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在 `n` 非常大的情况下，使用上述 C++ 实现，可以确保在合理时间内完成计算。此实现充分利用了快速幂和费马小定理的性质，以及 C++ 的高效输入输出特性。 |